Gruppo di Poincaré

In fisica e in matematica il gruppo di Poincaré, formulato da Henri Poincaré, è il gruppo di isometrie dello spaziotempo di Minkowski. Si tratta del prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz ed è un gruppo di Lie non compatto a 10 dimensioni. L'algebra di Lie del gruppo di Poincaré è chiamata algebra di Poincaré. Il gruppo abeliano di traslazioni è un suo sottogruppo normale, mentre il gruppo di Lorentz è un sottogruppo, uno stabilizzatore di un punto.

Si può anche definire il gruppo di Poincaré come un gruppo di estensione del gruppo di Lorentz determinato dalla sua rappresentazione vettoriale. Le sue rappresentazioni di energia positiva unitaria sono indicate dalla massa (numero non negativo) e dallo spin (intero o mezzo) e nella meccanica quantistica sono associate a particelle.

In accordo con il programma di Erlangen, la geometria dello spazio di Minkowski è definita dall'azione del gruppo di Poincaré: lo spazio di Minkowski è considerato, per il gruppo, come uno spazio omogeneo.

Definizione

Il gruppo di Poincaré è il gruppo delle isometrie dello spaziotempo di Minkowski. Si tratta di un gruppo di Lie non compatto a 10 dimensioni, ed è un sottogruppo minimale del gruppo delle trasformazioni affini invertibili da uno spazio in sé stesso. Più precisamente, il gruppo di Poincaré è un prodotto semidiretto delle traslazioni e del gruppo di Lorentz (il gruppo delle trasformazioni di Lorentz):

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes O(1,3)$

L'algebra di Poincaré è l'algebra di Lie del gruppo di Poincaré, ed è data dalle relazioni di commutazione:

$[P_{\mu },P_{\nu }]\,=\,0\qquad [P_{\rho },M_{\mu \nu }]\,=i(\,\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })$

$[M_{\rho \sigma },M_{\mu \nu }]\,=i(\,\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

dove il vettore $P$ è il generatore delle traslazioni, il tensore $M$ è il generatore delle trasformazioni di Lorentz e il tensore $\eta$ è la metrica di Minkowski.

Bibliografia

• Emil Artin, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• Moshe Carmeli, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Theodore Frankel, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• G. S. Hall, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0. See also the online version, su math.cornell.edu. URL consultato il 3 luglio 2005. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Gregory Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1, (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Tristam Needham, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate

• Algebra di Lie
• Azione di gruppo
• Covarianza di Lorentz
• Gruppo abeliano
• Gruppo di Lie
• Gruppo di Lorentz
• Gruppo unitario
• Gruppo ortogonale
• Sottogruppo normale
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria della relatività
• Trasformazione galileiana
• Trasformazione di Lorentz

Collegamenti esterni

• Programma di Erlangen, su 143.225.237.3. URL consultato il 9 agosto 2005 (archiviato dall'url originale il 19 giugno 2004).