Analisi di Einstein dell'interazione radiazione-materia

Albert Einstein si occupò del problema dell'interazione tra radiazione e materia nel 1917 pubblicando nel Volume 18 di Physika Zeitschrift l'articolo On the Quantum Theory of Radiation.^[1] Nell'articolo affronta l'argomento analizzando la radiazione di corpo nero per mezzo della nuova teoria quantistica.
^[1] Nel 1900 Max Planck, introducendo la quantizzazione dell'energia di un'onda elettromagnetica, aveva ricavato con metodi statistici l'espressione per la distribuzione spettrale della densità di energia della radiazione di corpo nero:

\rho (\lambda )=\lambda ^{-5}{\frac {8\pi hc}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}\qquad

Questa espressione verificava la legge di Wien e risolveva il problema della "catastrofe dell'ultravioletto".^[2]^[3]^[4]

Einstein ricava che, in presenza di radiazione elettromagnetica, la probabilità di transizione per unità di tempo tra due livelli energetici ( $E_{a}$ , $E_{b}$ ) di un elettrone atomico è proporzionale alla densità di energia della radiazione alla frequenza corrispondente alla distanza tra i due livelli secondo la legge di Planck:

{\frac {dP_{ab}}{dt}}=B_{ab}\rho (\omega _{ba})\quad \quad \quad {\textrm {con}}\,\,\omega _{ba}={\frac {1}{\hbar }}(E_{b}-E_{a})

dove $B_{ab}$ è detto coefficiente di Einstein. Tale probabilità risulta essere la stessa sia per l'assorbimento che per l'emissione, di conseguenza si ottiene che un corpo nero raggiunge l'equilibrio quando i due livelli energetici sono ugualmente popolati. Questo risultato è in contrasto con la distribuzione di Boltzmann, sperimentalmente verificata, che prevede un andamento all'equilibrio della popolazione dei livelli energetici proporzionale al fattore $e^{-E/kT}$ .

Per risolvere il problema Einstein introduce per la probabilità di emissione un secondo coefficiente che non dipende dalla densità di radiazione:

{\frac {dP_{ab}}{dt}}=B_{ab}\rho (\omega _{ba})+A_{ab}

questo coefficiente rappresenta l'emissione spontanea ( $E_{a}>E_{b}$ ). Tenendo conto di questo nuovo fattore Einstein riesce a ricavare l'espressione di Planck per la distribuzione spettrale della densità di energia.