Angolo tangente

L'angolo tangente o angolo di rotazione di una curva regolare in un punto $P$ appartenente alla curva è l'angolo tra la tangente alla curva in $P$ e l'asse delle ascisse, oppure tra la tangente in $P$ e la tangente in un punto prestabilito della curva (le due definizioni sono equivalenti a meno di una costante additiva).

Angolo tangente $\varphi$ in un punto $P$ di una curva

Definizione e proprietà

Data una curva regolare espressa dalla parametrizzazione $\alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ e dato $\theta _{0}\in [0,\,2\pi ]$ tale che

${\frac {\alpha '(t_{0})}{||\alpha '(t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)$

per un valore $t_{0}\in [a,\,b]$ fissato, si dimostra che esiste un'unica funzione differenziabile $\theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R}$ tale che

${\frac {\alpha '(t)}{||\alpha '(t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)$

e

$\theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}$.

Tale funzione $\theta _{\alpha }$ è l'angolo tangente di $\alpha$ determinato da $\theta _{0}$.

Se la curva ha velocità unitaria, si ha

$\alpha '(s)=\left(\cos(\theta (s)),\,\sin(\theta (s))\right)$

e si dimostra che la curvatura è data dalla derivata dell'angolo tangente:

$\kappa =\varphi '(s)$

dove il segno di $\kappa$ è positivo se la curva si piega a sinistra, negativo se si piega a destra.

Se la curva è espressa implicitamente dall'equazione $y=f(x)$, una sua parametrizzazione è data da $(x,\ f(x))$ e si può assumere $\varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right]$, e l'angolo di rotazione è dato esplicitamente da $\varphi =\arctan f'(x)$.

Angolo tangente polare

In coordinate polari, l'angolo polare tangente in un punto è definito come l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto e il raggio che va dall'origine al punto stesso. Se $\psi$ denota l'angolo polare tangente, allora $\psi =\varphi -\theta$, dove $\varphi$ è l'angolo tangente precedentemente definito e $\theta$ è l'angolo polare.

Se una curva è definita in coordinate polari come $r=f(\theta )$ si ha che l'angolo polare tangente $\psi$ in $\theta$ è dato (a meno di un multiplo di $2\pi$) da

${\frac {(f'(\theta ),\ f(\theta ))}{|f'(\theta ),\ f(\theta )|}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

Se la curva è espressa tramite una parametrizzazione in coordinate polari e con velocità unitaria $r=r(s),\ \theta =\theta (s)$, la definizione diventa più semplice

$(r'(s),\ r\theta '(s))=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

La spirale logaritmica può essere definita come una curva il cui angolo tangente polare è costante.

Bibliografia

• Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5.
• R.C. Yates, A Handbook on Curves and Their Properties, Ann Arbor, MI, J. W. Edwards, 1952, pp. 123–126.
• Benjamin Williamson, Angle between Tangent and Radius Vector, in An elementary treatise on the differential calculus, 9ª ed., 1899, p. 222.

Voci correlate

• Geometria differenziale
• Geometria differenziale delle curve
• Geometrie non euclidee
• Curva (matematica)
• Lunghezza di un arco
• Curvatura

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Angolo tangente, su MathWorld, Wolfram Research.
• Notations, su Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables.