Azione di gruppo
In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).
Definizione
modificaSiano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:
dove è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:
Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.
In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.[2][3]
Orbite
modificaData la relazione di equivalenza su
le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di . L'orbita contenente l'elemento è data da
Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.
Numero di orbite
modificaSe il gruppo finito agisce sull'insieme finito , per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:
dove
è l'insieme degli elementi di che sono lasciati fissi dall'elemento di .
Sistemi dinamici
modificaNell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.
Stabilizzatore
modificaDato un punto in , si definisce stabilizzatore di il sottogruppo di formato dagli elementi che fissano :
Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.
Per un gruppo finito, l'orbita di un elemento conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore in . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di :
Una biiezione esplicita fra le classi laterali
e l'orbita è data da:
Azioni sinistre e destre
modificaL'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra di su , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.[4]
Definizioni ulteriori
modificaUn'azione è banale se
Un'azione è fedele se ogni elemento di sposta almeno un punto di :
Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:
Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:
Un'azione è semplicemente transitiva se:
Un punto fisso è un elemento in che è lasciato invariato da tutti gli elementi di , ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento :
Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.
Azioni e permutazioni
modificaSe è un'azione del gruppo sull'insieme non vuoto allora per ogni la funzione è una permutazione di , in effetti l'insieme costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di . In particolare è isomorfo a se e solo se l'azione è fedele.
Esempi
modifica- Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:
- Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita . Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili . Allora
è un'azione di su
Azioni su spazi topologici
modificaSupponiamo ora che sia uno spazio topologico. Sia lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia la proiezione naturale
Per definizione di topologia quoziente la mappa è una funzione continua.
Azioni e rivestimenti
modificaUn caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.
L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti e di l'intersezione
è non vuota solo per un numero finito di elementi del gruppo .
Se è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.
- agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
- è di Hausdorff e ogni in ha un intorno aperto tale che
per ogni in .
- è di Hausdorff e la proiezione è un rivestimento.
Esempi
modificaIl gruppo agisce sulla sfera : si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale .
Note
modifica- ^ Bosch, S., p. 218.
- ^ Sernesi, E., p. 81.
- ^ Kosniowski, C., p. 39.
- ^ Manetti, M., pp. 217-219.
Bibliografia
modifica- Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-06440-0.
- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'azione di gruppo
Collegamenti esterni
modifica- (EN) Opere riguardanti Group actions (Mathematics), su Open Library, Internet Archive.
- (EN) Eric W. Weisstein, Group Action, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Group action, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Controllo di autorità | LCCN (EN) sh85057471 · J9U (EN, HE) 987007543475605171 |
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