Sistema numerico quaternario

Il quaternario è un sistema numerico in base 4, che utilizza le cifre 0, 1, 2 e 3 per rappresentare qualsiasi numero reale.

"Quattro" è il numero più grande all'interno dell'intervallo di sottotitolazione e uno dei due numeri che è sia un quadrato che un numero altamente composito (l'altro è 36), rendendo il quaternario una scelta conveniente per una base su questa scala. Pur essendo due volte più grande, la sua economia di base è uguale a quella del sistema binario. Tuttavia, non è migliore nella localizzazione dei numeri primi (la base migliore più piccola è la base primitiva sei, il senario).

Il quaternari condivide con tutti i sistemi numerici a base fissa molte proprietà, come la capacità di rappresentare qualsiasi numero reale con una rappresentazione canonica (quasi unica) e le caratteristiche delle rappresentazioni di numeri razionali e numeri irrazionali.

Relazione con altri sistemi numerici posizionali

**Numeri da zero a sessantaquattro in sistema quaternario standard**
Decimale	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binario	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Quaternario	0	1	2	3	10	11	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33
Ottale	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Esadecimale	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Decimale	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Binario	10000	10001	10010	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011	11100	11101	11110	11111
Quaternario	100	101	102	103	110	111	112	113	120	121	122	123	130	131	132	133
Ottale	20	21	22	23	24	25	26	27	30	31	32	33	34	35	36	37
Esadecimale	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F

Decimale	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
Binario	100000	100001	100010	100011	100100	100101	100110	100111	101000	101001	101010	101011	101100	101101	101110	101111
Quaternario	200	201	202	203	210	211	212	213	220	221	222	223	230	231	232	233
Ottale	40	41	42	43	44	45	46	47	50	51	52	53	54	55	56	57
Esadecimale	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F

Decimale	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
Binario	110000	110001	110010	110011	110100	110101	110110	110111	111000	111001	111010	111011	111100	111101	111110	111111	1000000
Quaternario	300	301	302	303	310	311	312	313	320	321	322	323	330	331	332	333	1000
Ottale	60	61	62	63	64	65	66	67	70	71	72	73	74	75	76	77	100
Esadecimale	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	3A	3B	3C	3D	3E	3F	40

Relazione con i sistemi binario ed esadecimale

Tabella dell'addizione
+	1	2	3
1	2	3	10
2	3	10	11
3	10	11	12

Come per i sistemi numerali ottale ed esadecimale, il quaternario ha una relazione speciale con il sistema numerico binario. Ciascuna base 4, 8 e 16 è una potenza di 2, quindi la conversione da e verso il binario viene ottenuta abbinando ogni cifra con 2, 3 o 4 cifre binarie o bit. Ad esempio, in base 4,

230210 ₄ = 10 11 00 10 01 00 ₂ .

Poiché 16 è una potenza di 4, la conversione tra queste basi può essere implementata abbinando ciascuna cifra esadecimale a 2 cifre quaternarie. Seguendo l'esempio precedente,

23 02 10 ₄ = B24 ₁₆

Tabella della moltiplicazione
×	1	2	3
1	1	2	3
2	2	10	12
3	3	12	21

Anche se ottale ed esadecimale sono ampiamente utilizzati in informatica e programmazione di computer nella discussione e nell'analisi dell'aritmetica binaria e in logica, il sistema quaternario non gode dello stesso status.

Sebbene il quaternario abbia un uso pratico limitato, può essere utile se fosse mai necessario eseguire l'aritmetica esadecimale senza una calcolatrice. Ogni cifra esadecimale può essere trasformata in una coppia di cifre quaternarie, quindi l'aritmetica può essere eseguita in modo relativamente semplice prima di convertire il risultato finale in esadecimale. Il sistema quaternario è conveniente per questo scopo, poiché i numeri hanno solo la metà della lunghezza delle cifre rispetto al binario, pur avendo tabelle di moltiplicazione e addizione molto semplici con solo tre elementi non-triviali unici.

Per analogia con il byte e il nibble, una cifra quaternaria viene talvolta chiamata crumb ("briciola") .

Frazioni

A causa del fatto di avere solo fattori di due, molte frazioni quaternarie hanno cifre ripetute, sebbene queste tendano ad essere abbastanza semplici:

Base decimale Primi fattori della base: 2, 5 Primi fattori sotto la base: 3 Primi fattori sopra la base: 11 Altri primi fattori: 7 13 17 19 23 29 31			Base quaternaria Primi fattori della base: 2 Primi fattori sotto la base: 3 Primi fattori sopra la base: 11 Altri primi fattori: 13 23 31 101 103 113 131 133
Frazione	Fattori primi del denominatore	Rappresentazione posizionale	Rappresentazione posizionale	Fattori primi del denominatore	Frazione
1/2	2	0.5	0.2	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.1111... = 0.1	3	1/3
1/4	2	0.25	0.1	2	1/10
1/5	5	0.2	0.03	11	1/11
1/6	2, 3	0.16	0.02	2, 3	1/12
1/7	7	0.142857	0.021	13	1/13
1/8	2	0.125	0.02	2	1/20
1/9	3	0.1	0.013	3	1/21
1/10	2, 5	0.1	0.012	2, 11	1/22
1/11	11	0.09	0.01131	23	1/23
1/12	2, 3	0.083	0.01	2, 3	1/30
1/13	13	0.076923	0.010323	31	1/31
1/14	2, 7	0.0714285	0.0102	2, 13	1/32
1/15	3, 5	0.06	0.01	3, 11	1/33
1/16	2	0.0625	0.01	2	1/100
1/17	17	0.0588235294117647	0.0033	101	1/101
1/18	2, 3	0.05	0.0032	2, 3	1/102
1/19	19	0.052631578947368421	0.003113211	103	1/103
1/20	2, 5	0.05	0.003	2, 11	1/110
1/21	3, 7	0.047619	0.003	3, 13	1/111
1/22	2, 11	0.045	0.002322	2, 23	1/112
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.00230201121	113	1/113
1/24	2, 3	0.0416	0.002	2, 3	1/120
1/25	5	0.04	0.0022033113	11	1/121
1/26	2, 13	0.0384615	0.0021312	2, 31	1/122
1/27	3	0.037	0.002113231	3	1/123
1/28	2, 7	0.03571428	0.0021	2, 13	1/130
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.00203103313023	131	1/131
1/30	2, 3, 5	0.03	0.002	2, 3, 11	1/132
1/31	31	0.032258064516129	0.00201	133	1/133
1/32	2	0.03125	0.002	2	1/200
1/33	3, 11	0.03	0.00133	3, 23	1/201
1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.00132	2, 101	1/202
1/35	5, 7	0.0285714	0.001311	11, 13	1/203
1/36	2, 3	0.027	0.0013	2, 3	1/210

Utilizzo nelle lingue umane

Molte o tutte le lingue chumash originariamente utilizzavano un sistema di conteggio su base 4, in cui i nomi dei numeri erano strutturati in base ai multipli di 4 e 16 (non 10). C'è un elenco sopravvissuto di numeri in parole in lingua Ventureño fino a 32 scritte da un prete spagnolo all'incirca nel 1819.^[1]

I numeri di Kharosthi hanno un sistema di conteggio parziale della base 4 da 1 a 10 decimale.

Curve di Hilbert

I numeri quaternari sono usati nella rappresentazione delle curve di Hilbert in 2D. Qui un numero reale compreso tra 0 e 1 viene convertito nel sistema quaternario. Ogni singola cifra indica in quale dei rispettivi 4 sub-quadranti verrà proiettato il numero.

Genetica

Si possono tracciare parallelismi tra numeri quaternari e il modo in cui il codice genetico è rappresentato dal DNA . I quattro nucleotidi del DNA in ordine alfabetico, abbreviati A, C, G e T, possono essere presi per rappresentare le cifre quaternarie in ordine numerico 0, 1, 2 e 3. Con questa codifica, le coppie di cifre complementari 0↔3 e 1↔2 (binario 00↔11 e 01↔10) corrispondono alla complementazione delle coppie di basi : A↔T e C↔G e possono essere memorizzate come dati nella sequenza del DNA.^[2]

Ad esempio, la sequenza nucleotidica GATTACA può essere rappresentata dal numero quaternario 2033010 (= decimale 9156 o binario 10 00 11 11 00 01 00).

Trasmissione dati

I codici di linea quaternaria sono stati usati per la trasmissione, dall'invenzione del telegrafo al codice 2B1Q utilizzato nei più moderni circuiti ISDN.

Informatica

Alcuni computer hanno utilizzato l'aritmetica in virgola mobile quaternaria, tra cui l'Illinois ILLIAC II (1962)^[3] e i sistemi di rilevamento del sito ad alta risoluzione Digital Field System DFS IV e DFS V.^[4]

Note

^ Beeler, Madison S. (1986). "Chumashan Numerals". In Closs, Michael P. (ed.). Native American Mathematics. ISBN 0-292-75531-7.
^ "Bacterial based storage and encryption device" (PDF). iGEM 2010: The Chinese University of Hong Kong. 2010. Archived from the original (PDF) on 2010-12-14. Retrieved 2010-11-27.
^ Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter H. Historical floating-point architectures". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. p. 948. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446.
^ Parkinson, Roger (2000-12-07). "Chapter 2 - High resolution digital site survey systems - Chapter 2.1 - Digital field recording systems". High Resolution Site Surveys (1 ed.). CRC Press. p. 24. ISBN 978-0-20318604-6. ISBN 0-20318604-4. Retrieved 2019-08-18. […] Systems such as the [Digital Field System] DFS IV and DFS V were quaternary floating-point systems and used gain steps of 12 dB. […] (256 pages)

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su sistema numerico quaternario

Collegamenti esterni

Quaternary Base Conversion, comprende parte frazionaria, da Math Is Fun
Base42 propone simboli univoci per cifre quaternarie ed esadecimali

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica

[Beeler_1986-1] Beeler, Madison S. (1986). "Chumashan Numerals". In Closs, Michael P. (ed.). Native American Mathematics. ISBN 0-292-75531-7.

[CUHK_2010-2] "Bacterial based storage and encryption device" (PDF). iGEM 2010: The Chinese University of Hong Kong. 2010. Archived from the original (PDF) on 2010-12-14. Retrieved 2010-11-27.

[Beebe_2017-3] Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter H. Historical floating-point architectures". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. p. 948. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446.

[Parkinson_2000-4] Parkinson, Roger (2000-12-07). "Chapter 2 - High resolution digital site survey systems - Chapter 2.1 - Digital field recording systems". High Resolution Site Surveys (1 ed.). CRC Press. p. 24. ISBN 978-0-20318604-6. ISBN 0-20318604-4. Retrieved 2019-08-18. […] Systems such as the [Digital Field System] DFS IV and DFS V were quaternary floating-point systems and used gain steps of 12 dB. […] (256 pages)

[1]

[2]

[3]

[4]