Georg Cantor

matematico tedesco
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«Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.»

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845Halle, 6 gennaio 1918) è stato un matematico tedesco, padre della teoria degli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali.

Georg Cantor

Biografia

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Cantor nasce a San Pietroburgo, figlio di Georg Woldemar Cantor, un operatore di borsa danese, e di Marie Anna Böhm, una violinista, cattolica, nata in Russia ma di origini austriache. Nel 1856, a causa delle condizioni di salute del padre, la famiglia si trasferisce a Berlino. Georg continua la sua educazione presso le scuole tedesche, dapprima a Darmstadt, poi in Svizzera al Politecnico federale di Zurigo e infine presso l'Università di Berlino, dove ha come maestri Kummer, Kronecker e Weierstrass. Dopo aver conseguito il dottorato nel 1867 con una tesi sulla teoria dei numeri: De aequationibus secundi gradus indeterminatis, nel 1869 Cantor lascia Berlino per assumere una posizione di insegnante all'Università di Halle,nel 1874 si sposa con Vally Guttmann con la quale ebbe i due figli Rudolph e Erich. A Halle passerà il resto della sua vita[2]. Georg ebbe sempre nostalgia della madrepatria, dichiarandosi più russo che tedesco.[senza fonte]

Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali   è numerabile, mentre l'insieme di tutti i numeri reali   è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.

La sua teoria degli infiniti fu duramente contestata e Cantor cercò sostegno anche nella Chiesa cattolica, convinto che il tomismo aristotelico ammettesse l'infinito attuale.[3] Scrisse una lettera e indirizzò alcuni dei suoi pamphlet a papa Leone XIII.[4][5]

Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Intensificò allora la lettura di testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse:

«L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Dio, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico.»

Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì nel 1918 ad Halle, dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Le sue teorie non incontrarono subito l'assenso dei colleghi: il matematico Leopold Kronecker, in particolare, giudicò le sue scoperte «prive di senso».[6]

Al suo nome è intitolato il cratere Cantor sulla Luna.

La teoria degli insiemi

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Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884).[7] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme  , esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di  , chiamato l'insieme potenza di  . Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito   ha una grandezza maggiore della grandezza di   stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice (  Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega.

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.

Cioè, non solo quindi Cantor - andando contro la tradizione Aristotelica, secondo cui l'infinito era definito solo come potenziale - ha concepito l'infinito attuale come un ente misurabile e degno di valore scientifico, ma ha mostrato e dimostrato tramite quello che oggi viene chiamato il metodo della diagonalizzazione, che esistono diversi tipi di infinito. L'insieme dei numeri reali, per esempio, ha una grandezza (una cardinalità) maggiore dell'insieme dei numeri naturali, mentre l'insieme dei numeri pari ha la stessa "grandezza" dei numeri naturali, cioè (contro intuitivamente) una parte è uguale all'intero perché è possibile trovare una corrispondenza biunivoca (una biiezione) tra i due insiemi. Oggi i numeri transfiniti sono accettati dalla maggior parte dei matematici.

Filosofia e religione

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Nell'opera Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, risultano citate ed esaminate con cura un numero impressionante di fonti filosofiche e teologiche: Agostino, Aristotele, Bolzano, Kant, Leibniz, Platone, Spinoza, Tommaso d'Aquino. Inoltre, tra gli “scolastici”, Franzelin, Pesch, Suárez, Tongiorgi; tra i filosofi, Albrecht von Haller, Bayle, Berkeley, Boezio, Fichte, Gerdil, Giordano Bruno, Hamilton, Hegel, Maignan, Nicola da Cusa, Origene, Pitagora, Schelling, Sesto Empirico, Thomasius; tra gli scienziati più antichi: Cavalieri, Euclide, Galileo, Guldino, Lagrange, Newton, Torricelli.

Lettore di Agostino e Spinoza, si dichiarò sempre religioso alla maniera di Spinoza, con una forte simpatia per il cattolicesimo materno. Intratteneva scambi epistolari importanti con Weierstrass, con il filosofo K. Lasswitz e con il teologo gesuita, il cardinale G.B. Franzelin, in parte pubblicati da lui stesso (sulla rivista filosofica fichtiana: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 1887-1888) e si doleva della diffidenza che la nozione di «transfinito» suscitava negli ambienti ecclesiastici (cfr. Thuiller, 1977).

La mappa cantoriana dell'infinito si fonda sull'opposizione indeterminato/determinato e, solo secondariamente, su quella finito/infinito. Si distinguono allora: a) l'assolutamente indeterminato, o infinito inconsistente (il «cattivo» infinito, per es.: «L'insieme di tutto ciò che è pensabile», vedi supra, IV); b) le molteplicità determinate e “finite”; c) il “finito” iterato, infinito potenziale, improprio, ma non «cattivo» (contro Hegel), importantissimo in analisi matematica; d) le molteplicità «infinite ben determinate», come i transfiniti; ed infine e) Dio, assolutamente infinito.

I transfiniti e l'Infinito assoluto-Dio

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Georg Cantor teorizzò l'esistenza di diversi livello di infinito. L'infinito potenziale e vari infiniti attuali, che si ottengono pensando l'infinito potenziale come già esistente.

Qualsiasi infinito attuale è al di sopra di quello potenziale e si chiama anche traansfinito:

  • Aleph-zero è il nome dato da Cantor all'infinito attuale numerabile (es. l'insieme infinito dei numeri interi);
  • Aleph-uno è l'infinito attuale continuo (es. l'insieme infinito di tutti i punti di un segmento di linea non nullo, di una superficie o di un volume; l'insieme infinito continuo dei numeri reali);
  • Aleph-due è rappresentato dal numero infinito di tutte le linee geometriche;
  • Aleph-tre e superiori non sono rappresentabili.

Al di sopra di tutti gli infiniti attuali, Cantor colloca l'Infinito assoluto, una realtà assolutamente astratta che non è un infinito matematico fatto di numeri e che non è accessibile né determinabile con l'analisi e il rigore logico-matematico.[8] Cantor identificò l'unico Infinito assoluto con Dio[9][10][11], affermando che era descrivibile solo in termini di teologia negativa.[12]

Opere di Cantor

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  1. ^

    «Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können»

  2. ^ Ewald, William B. (ed.), From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics, collana Oxford science publications, Clarendon Press, 1996, ISBN 978-0-19-853271-2.
  3. ^ Giandomenico Boffi, Scienza e fede: dio e l’infinito – Considerazioni di un matematico, in Espíritu: cuadernos del Instituto Filosófico de Balmesiana, vol. 70, n. 161, 2021, pp. 185–200. URL consultato il 19 gennaio 2025. (ivi: p. 192)
  4. ^ Joseph W. Dauben, Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite, in Journal of the History of Ideas, vol. 38, n. 1, 1977, pp. 85–108, DOI:10.2307/2708842. URL consultato il 19 gennaio 2025.
  5. ^ Dauben - Cantor and Pope Leon XIII PDF | PDF | Thomism | Infinity, su web.archive.org, 10 maggio 2023. URL consultato il 19 gennaio 2025 (archiviato dall'url originale il 10 maggio 2023).
  6. ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.
  7. ^ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1874.
  8. ^ Antonino Zichichi, L'Infinito. L'avventura di un'idea straordinaria, il Saggiatore, Milano 2004 (1a ed. ne Pratiche Editrice, Milano 1998), pp. 171-174. ISBN 88-515-2212-X
  9. ^ F. Orilia, L'infinito prima e dopo l'infinito, ITA, 2021, ISBN 978-88-5522-225-9. URL consultato il 18 gennaio 2025.
  10. ^ Riccardo Giustozzi, L’Infinito di Cantor: breve storia dello scisma matematico, su Cronache dal Silenzio, 10 novembre 2020. URL consultato il 18 gennaio 2025.
  11. ^ Georg Cantor (1845-1918), cento anni dopo, su disf.org. URL consultato il 18 gennaio 2025.
  12. ^ Gutschmidt, Rico e Carl, Merlin, The negative theology of absolute infinity: Cantor, mathematics, and humility, in International Journal for Philosophy of Religion, vol. 95, Springer, 2024, pp. 233-256, DOI:10.1007/s11153-023-09897-8, ISSN 0020-7047 (WC · ACNP), OCLC 10146601115. URL consultato il 18 gennaio 2025. (sottoposto a revisione paritaria, Open Access). Disponibile anche nel sito della KOPS Universität Konstanz

Bibliografia

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  • Cantor, Georg (1932). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. (PDF) (Raccolta degli scritti originali di Cantor.)
  • Hilbert, David (1926). Über das Unendliche. Mathematische Annalen 95:161-190.
  • (EN) Cantor, Georg (1955, 1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1
  • (EN) Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. ISBN 978-0-19-853271-2
  • (EN) Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. (La biografia più completa). ISBN 978-0-691-02447-9
  • Antonino Zichichi, L'infinito. Editrice Galileo Galilei, Losanna, 1988
  • Amir D. Aczel, Il mistero dell'alef. Il Saggiatore, 2002
  • John David Barrow, L'infinito. Mondadori, 2005, capitoli V e VI.
  • Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.
  • Marco de Paoli, In numero et mensura. Cantor e la teoria degli insiemi, Torino 1998, Noctua
  • P. Thuiller, "Dieu, Cantor et l'infini" , "La Recherche", n. 84, dicembre 1977, pp. 1110-1116.

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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