Corpo rigido

In fisica, un corpo rigido è un oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità, ossia è un corpo che sia quando è fermo sia quando cambia posizione non si deforma mai. Dal punto di vista della teoria dell'elasticità un corpo è rigido se costituito da un materiale che ha modulo di Young teoricamente infinito.

Descrizione

Il vincolo di rigidità è un vincolo di posizione bilaterale ed indipendente dal tempo; esso fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante. Scelti due punti qualunque $P_{1}$ e $P_{2}$ appartenenti al corpo rigido e la loro distanza $d_{12}$, il vincolo di rigidità è analiticamente espresso dalla relazione:

$(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}-d_{12}^{2}=0$

Affinché un sistema abbia un moto rigido è necessario e sufficiente che le velocità simultanee di due suoi punti qualsiasi abbiano la stessa componente lungo la loro congiungente, e questo deve essere vero per ogni coppia di punti del sistema.

Per descrivere lo spostamento rigido nello spazio occorrono 6 gradi di libertà, con tre componenti della traslazione e tre componenti della rotazione. Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, ad ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori, come:

• tre coordinate di posizione di uno degli $N$ punti del corpo rigido (in totale si hanno $3N$ coordinate), le altre $3(N-1)$ coordinate degli $(N-1)$ punti del corpo rigido sono univocamente determinate dai vincoli;
• tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi $x,\ y,\ z$ solidali al corpo.

È inoltre utile, per semplicità, introdurre l’ipotesi di piccoli spostamenti, per cui si ha che $\sin \theta \simeq \theta$.

Il moto di un corpo rigido si definisce moto rigido piano quando, considerato un piano solidale al corpo e con giacitura iniziale ${\hat {n}}$, questo si mantiene durante il moto costantemente sovrapposto ad un piano fisso anch'esso di giacitura ${\hat {n}}$; ovvero tutti i punti appartenenti al corpo rigido seguono le stesse leggi temporali di moto su piani paralleli.

Due corpi rigidi vincolati a strisciare l'uno sull'altro su una superficie solidale ad entrambi si dicono costituire una coppia cinematica.

Cinematica del corpo rigido

La traslazione di un corpo rigido si riconduce allo studio della cinematica dei sistemi, introducendo il concetto di centro di massa e considerando il corpo come un sistema continuo.

Dato un sistema di riferimento assoluto (o fisso) formato dalla terna di versori trirettangola levogira $\{\mathbf {e} _{1},\ \mathbf {e} _{2},\ \mathbf {e} _{3}\}$ centrata in $O$ e un sistema di riferimento solidale al corpo rigido con terna $\{\mathbf {e} _{1}',\ \mathbf {e} _{2}',\ \mathbf {e} _{3}'\}$ centrata in $O\,'$, il moto di un corpo può essere descritto tenendo in conto due contributi distinti: quello dovuto alla sua traslazione e quello legato alla rotazione rispetto ad un asse passante per almeno un punto del corpo; esso infatti è perfettamente determinato dalla conoscenza della variazione lineare e di quella angolare del moto del corpo rispetto ad un punto generico dell'asse di rotazione. Lo spostamento assoluto $\mathbf {r}$ di un generico punto $P$ del corpo, la cui distanza da $\ O\,'$ è indicata dal vettore $\mathbf {r} _{o}$, è dato da:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{o}+\mathbf {\theta } \times \mathbf {r}$

dove $\theta$ è il vettore angolo di rotazione, con direzione parallela all'asse di rotazione e verso dato dalla regola della vite. Esprimendo quest'ultima relazione sotto forma di sistema lineare si ha:

$\left\{{\begin{aligned}&x=x_{o}+\theta _{y}(z_{P}-z_{o})-\theta _{z}(y_{P}-y_{o})\\&y=y_{o}+\theta _{z}(x_{P}-x_{o})-\theta _{x}(z_{P}-z_{o})\\&z=z_{o}+\theta _{x}(y_{P}-y_{o})-\theta _{y}(x_{P}-x_{o})\\\end{aligned}}\right.$

Che può essere riscritta come relazione tensoriale:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{o}\\y_{o}\\z_{o}\\\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{bmatrix}0&-\theta _{z}&\theta _{y}\\\theta _{z}&0&-\theta _{x}\\-\theta _{y}&\theta _{x}&0\\\end{bmatrix}} _{\displaystyle {\mathbf {W} _{ij}}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{p}-x_{o}\\y_{p}-y_{o}\\z_{p}-z_{o}\\\end{pmatrix}}\implies \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{o}+{\underline {\underline {\mathbf {W} }}}\cdot \mathbf {r}$

dove $\mathbf {W} _{ij}$ è il tensore di rotazione rigida. La velocità di rotazione può essere definita attraverso il vettore velocità angolare:

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}$

esso è diretto parallelamente all'asse di rotazione con verso definito dalla regola della vite. Allora la velocità di un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione è:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} )={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\theta }$

La variazione della velocità angolare ci dice che un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione subisce un'accelerazione angolare:

${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}$

Le componenti della velocità assoluta di un punto del corpo sugli assi mobili $x,\ y,\ z$ sono date proiettando allora il teorema delle velocità relative:

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{o}+\mathbf {v} _{\theta }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{o}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Chiamando $\mathbf {v} _{o}=\{{\dot {x}}_{o},\ {\dot {y}}_{o},\ {\dot {z}}_{o}\}$ la velocità assoluta di traslazione del centro delle velocità$\ O$ e ${\boldsymbol {\omega }}=\{\omega _{x},\ \omega _{y},\ \omega _{z}\}$ la velocità angolare, le quali hanno componenti sui tre assi di rotazione mobili$\ x,\ y,\ z$, si ha che i valori ${\dot {x}}_{o},\ {\dot {y}}_{o},\ {\dot {z}}_{o},\ \omega _{x},\ \omega _{y},\ \omega _{z}$ sono detti parametri del moto rigido. Pertanto, il sistema che si ottiene è:

$\left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}={\dot {x}}_{o}+\omega _{y}(z_{P}-z_{o})-\omega _{z}(y_{P}-y_{o})\\&{\dot {y}}={\dot {y}}_{o}+\omega _{z}(x_{P}-x_{o})-\omega _{x}(z_{P}-z_{o})\\&{\dot {z}}={\dot {z}}_{o}+\omega _{x}(y_{P}-y_{o})-\omega _{y}(z_{P}-z_{o})\\\end{aligned}}\right.$

Che può essere riscritta come relazione tensoriale:

${\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dot {x}}_{o}\\{\dot {y}}_{o}\\{\dot {z}}_{o}\\\end{pmatrix}}+\underbrace {\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{bmatrix}} _{\displaystyle {{\dot {\mathbf {W} }}_{ij}}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{p}-x_{o}\\y_{p}-y_{o}\\z_{p}-z_{o}\\\end{pmatrix}}\implies \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{o}+{\dot {\underline {\underline {\mathbf {W} }}}}\cdot \mathbf {r}$

dove ${\dot {\mathbf {W} }}_{ij}$ è il tensore di velocità angolare. Lo stesso punto subisce un'accelerazione data da:

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{o}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} _{o}}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{o}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\theta }=\mathbf {a} _{o}+\mathbf {a} _{\theta }+\mathbf {a} _{n}$

dove il termine $\mathbf {a} _{\theta }$ rappresenta l'accelerazione tangenziale, diretta nello stesso verso della velocità tangenziale $\mathbf {v} _{\theta }$, che ne è anche responsabile della variazione in modulo di quest'ultima, mentre il secondo termine $\mathbf {a} _{n}$ rappresenta l'accelerazione radiale diretta verso il centro della circonferenza, ed è responsabile della variazione in direzione della velocità tangenziale. In definitiva:

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\theta }+\mathbf {a} _{R}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}$

dove ${\hat {\mathbf {T} }}$ e ${\hat {\mathbf {N} }}$ sono rispettivamente i versori associati alla direzione tangente ed alla direzione radiale della circonferenza descritta dal moto del corpo.

Dinamica del corpo rigido

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle equazioni cardinali della dinamica

$\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{CM}}{\mathrm {d} t}}\\[6pt]&\mathbf {M} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\end{aligned}}\right.$

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

$\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{\text{CM}}}{\mathrm {d} t}}=0\\[6pt]&\mathbf {M} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0\end{aligned}}\right.$

e queste equazioni introducono le leggi di conservazione e fanno parte di una branca della meccanica newtoniana detta statica.

Per quanto riguarda la parte energetica del moto di un corpo rigido, l'energia cinetica $T$ ha il contributo dell'energia cinetica traslazionale $T_{t}$ e di quella rotazionale $T_{r}$ in generale, per un moto piano, date da

$T=T_{t}+T_{r}={\frac {1}{2}}mv_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{CM}}\omega ^{2}$

dove $I_{\text{CM}}$ è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse perpendicolare al piano del moto e passante per il centro di massa, mentre $\mathbf {v} _{\text{CM}}$ è la velocità del centro di massa. Si tenga conto anche del fatto che vale il teorema di Huygens-Steiner e il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è per il terzo principio della dinamica nullo. Si noti che se il corpo ruota attorno a un asse ${\hat {z}}$ non baricentrico, se si indica con $r$ la distanza del baricentro dall'asse di rotazione, si ottiene

$T={\frac {1}{2}}(mr^{2}+I_{\text{CM}})\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I_{\hat {z}}\omega ^{2}$

essendo $I_{\hat {z}}$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione ${\hat {z}}$.

Esempi

Sono moti rigidi piani quelli in cui il corpo ruota intorno ad un asse fisso e il moto di puro rotolamento, il moto del pendolo composto e quello della trottola.

Voci correlate

• Cinematica
• Meccanica classica
• Corpo
• Centro di massa
• Teorema di König
• Costruzione di Poinsot
• Meccanica dei solidi
• Equazioni di Eulero (dinamica del corpo rigido)

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