Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, il complemento di un insieme è l'insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento si dividono nei complementi relativi (detti anche insieme differenza) e nei complementi assoluti.
Il complemento relativo (o la differenza) di rispetto a :
Avendo due insiemi e , il complemento di rispetto a o l'insieme differenza meno , è formato dai soli elementi di che non appartengono ad . Esso si indica solitamente come oppure come . Formalmente abbiamo:
Si noti che l'insieme differenza è un sottoinsieme dell'insieme .
Il complemento assoluto (in rosso) di (in bianco):
Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.
Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti
Se è definito un insieme universo, si definisce complemento assoluto di come il complemento relativo di rispetto ad . Formalmente abbiamo:
Il complemento assoluto, indicato anche come , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.
A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.
La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.
Se e sono sottoinsiemi di un insieme universo, allora valgono le seguenti identità.
