Coomologia di De Rham
In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.
Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi -dimensionali".
Definizione
modificaPreliminari
modificaSia una varietà differenziabile di dimensione e un intero con
Tutte le -forme differenziali su formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con
Questo spazio ha dimensione finita. In particolare, per questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in .
Il differenziale esterno di una forma differenziale è una -forma, indicata con il simbolo . Il differenziale definisce quindi una mappa
che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.
Complesso di cocatene
modificaIl complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:
Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale per ogni forma , ovvero
D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano
i sottospazi formati rispettivamente dalle -forme chiuse ed il sottospazio delle -forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione
Il -esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:
Bibliografia
modifica- Raoul Bott e Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90613-3.
- Phillip Griffiths e Joseph Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York, John Wiley & Sons, 1994, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
- Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1983, ISBN 978-0-387-90894-6.