Coordinate di Eddington-Finkelstein

Nella Relatività generale, le coordinate di Eddington-Finkelstein sono una coppia di sistemi di coordinate utilizzate per descrivere le geodetiche nulle radiali in uno spazio-tempo di Schwarzschild, ossia attorno a un buco nero perfettamente sferico. Le geodetiche nulle altro non sono che le linee di universo, ossia le traiettorie nello spazio-tempo, percorse dalla luce; quelle radiali sono quelle che si percorrono muovendosi direttamente da o verso la massa centrale. Prendono il nome da Arthur Stanley Eddington che accenna a tale sistema in un articolo del 1924^[1] e da David Finkelstein che lo sviluppa in un articolo del 1958.^[2]

La caratteristica notevole di tali coordinate deriva dal fatto che quelle introdotte da Schwarzschild nel 1916^[3] presentano due singolarità matematiche: la prima al centro del sistema stesso, che rappresenta il buco nero, e la seconda su una sfera che circonda il buco e che coincide con l'orizzonte degli eventi. Invece con le coordinate di Eddington-Finkelstein la seconda singolarità viene eliminata, dimostrando che non si tratta di una vera singolarità fisica, ma solo di un artefatto dovuto al sistema scelto^[4], per cui un osservatore che attraversi l'orizzonte degli eventi in linea di principio non dovrebbe notare nulla.

Comunque nel breve articolo del 1924 Eddington non sembra notare questa proprietà.^[1]

Derivazione

Soluzione di Schwarzschild in coordinate di Schwarzschild, con due dimensioni spaziali soppresse, lasciando solo il tempo t e la distanza dal centro r. In rosso le geodetiche nulle entranti:

-t=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

In blu le geodetiche nulle uscenti:

t=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

In verde i coni luce sui cui bordi si muove la luce, mentre all'interno si muovono gli oggetti materiali

Si parte dalla metrica di Schwarzschild, basata su un sistema di coordinate sferiche:

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}\qquad (1)

dove

d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},

G è la costante gravitazionale, M è la massa del buco nero, la segnatura è (+ − − −) e si sono usate le unità naturali per cui c = 1.

Se ora si calcola l'evoluzione di una geodetica radiale ( $d\Omega ^{2}=0$ ) nulla ( $ds^{2}=0$ ) la (1) diventa:

0=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}

da cui

dt^{2}={\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{2}}}

e quindi

\pm \,dt={\frac {dr}{\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)}}=dr+{\frac {2GM}{\left(r-2GM\right)}}dr

che integrando dà

\pm \,t=\int {\biggl (}1+{\frac {2GM}{\left(r-2GM\right)}}{\biggr )}dr=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante\qquad (2)

^[5]

Ossia un raggio di luce raggiunge una distanza $r$ dal buco nero pari a $2GM$ , che è il raggio di Schwarzschild, in un tempo infinito,^[6] quindi non raggiungendola mai.

Dunque, per un osservatore che si avvicini all'orizzonte degli eventi, la sua coordinata temporale secondo Schwarzschild diventa infinita (singolarità) ed è per questo che nessuna informazione può essere trasmessa verso l'esterno da un osservatore che attraversi l'orizzonte o si possa osservare un oggetto attraversare tale orizzonte, nonostante un osservatore possa comunque viaggiare attraverso esso.

In base a questo risultato, Tulllio Regge e John Wheeler, in un articolo del 1957,^[7] definirono una nuova coordinata:

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

che poi venne ribattezzata da Wheeler la coordinata della tartaruga, in riferimento al famoso paradosso di Zenone, in cui Achille non raggiunge mai la tartaruga.

Coordinate di Eddington-Finkelstein entranti

Soluzione di Schwarzschild in coordinate di Eddington-Finkelstein, con due dimensioni spaziali soppresse, lasciando solo il tempo

{\bar {t}}

"avanzato" (il tempo scorre solo in avanti) e la distanza dal centro r. In rosso le geodetiche nulle entranti

v

. In blu le geodetiche nulle uscenti. In verde i coni luce sui cui bordi si muove la luce, mentre all'interno si muovono gli oggetti materiali. Tratteggiato un oggetto che cade nella singolarità.

Ora, per eliminare la singolarità, l'idea è di trasformare le linee entranti in rette che attraversano l'orizzonte, sostituendo al tempo $t$ una nuova coordinata basata su quella della tartaruga:

{\bar {t}}=t+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

.

Infatti in questo modo la (2), nel caso di $-t$ , diventa:

{\bar {t}}=-r+costante\qquad (3)

e la distanza diminuisce all'aumentare del tempo ${\bar {t}}$ (geodetiche entranti) in modo lineare.

Sostituendo ${\bar {t}}$ in (1) si ottengono le coordinate di Eddington–Finkelstein entranti^[8]^[9]:

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)d{\bar {t}}^{2}-{\frac {4GM}{r}}\,d{\bar {t}}\,dr-\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}

,

come originariamente ricavate da Eddington e Finkelstein.

Definendo delle nuove coordinate $v={\bar {t}}+r$ , note come tempo avanzato, è possibile semplificare ulteriormente la metrica:^[9]^[10]

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}

,

ottenendo come soluzione $v=2r^{*}+costante$ ,^[11] da cui

{\bar {t}}=r-4\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

che insieme alla (3) permette di costruire il grafico a fianco riportato, in cui sostanzialmente al crescere del tempo diminuisce la distanza dal centro, descrivendo quindi l'evoluzione temporale di un oggetto in presenza di un buco nero.

Coordinate di Eddington-Finkelstein uscenti

Soluzione di Schwarzschild in coordinate di Eddington-Finkelstein, con due dimensioni spaziali soppresse, lasciando solo il tempo

t^{*}

"ritardato" (il tempo scorre solo all'indietro) e la distanza dal centro r. In rosso le geodetiche nulle entranti

u

. In blu le geodetiche nulle uscenti. In verde i coni luce sui cui bordi si muove la luce, mentre all'interno si muovono gli oggetti materiali.

In modo del tutto analogo si ragiona sulle linee uscenti, definendo:

t^{*}=t-2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

.

In questo modo la (2), nel caso di $+t$ , diventa:

t^{*}=r+costante

,

che sono le geodetriche uscenti, con cui poi definire $u=t^{*}-r$ , noto come tempo ritardato, da cui si ricavano le coordinate di Eddington-Finkelstein uscenti:^[12]

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}

,

con soluzione $u=-2r^{*}+costante$ .

A fianco il grafico corrispondente per $t^{*}$ , in cui sostanzialmente al crescere del tempo aumenta la distanza dal centro, in modo contrario e simmetrico rispetto al caso precedente, teoricamente dando vita ad un buco bianco, cioè un oggetto da cui la materia e la luce sono espulsi.^[13]

Relazioni con altri sistemi di coordinate

In questo modo, in entrambi i sistemi, la singolarità a distanza $2GM$ dalla singolarità centrale viene eliminata e le coordinate di Schwarzschild vengono estese oltre l'orizzonte degli eventi, con quello che viene definito un prolungamento analitico, ma in due modi diversi, ossia con due sistemi di coordinate distinte: uno per il buco nero e uno per il buco bianco.

È possibile estendere ulteriormente le coordinate in modo da avere entrambi i sistemi in uno solo grazie alle coordinate di Kruskal-Szekeres, in cui, oltre alle due singolarità (buco nero e buco bianco) e allo spazio ad esse esterno, compare una quarta regione simmetrica allo spazio esterno alle due singolarità.

Le coordinate Eddington-Finkelstein hanno qualche somiglianza con le coordinate Gullstrand-Painlevé in quanto entrambe sono indipendenti dal tempo e attraversano sia in entrata che in uscita l'orizzonte degli eventi, entrambe non sono diagonali (le ipersuperfici a "tempo" costante non sono ortogonali alle ipersuperfici a r costante) e Ie seconde hanno una metrica spaziale piatta, mentre le ipersuperfici spaziali (a "tempo" costante) delle prime sono nulle e hanno la stessa metrica di un cono nullo nello spazio di Minkowski ( $t=\pm r$ nello spaziotempo piatto).

Note

^ ^a ^b A.S. Eddington, A Comparison of Whitehead's and Einstein's Formulæ (PDF), in Nature, vol. 113, n. 2832, Feb 1924, p. 192, Bibcode:1924Natur.113..192E, DOI:10.1038/113192a0.
^ David Finkelstein, Past-Future Asymmetry of the Gravitational Field of a Point Particle, in Phys. Rev., vol. 110, 1958, pp. 965–967, Bibcode:1958PhRv..110..965F, DOI:10.1103/PhysRev.110.965.
^ Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.
^ Robert M. Wald, 6.4, in General Relativity, 1984, p. 149.
«due semplici esempi che gettano un po' di luce sulla natura della questione»
^ Ray d'Inverno, 16.4 Space-time diagram in Schwarzschild coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 216-217, ISBN 0-19-859686-3.
^ $r\rightarrow 2GM\Longrightarrow \ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\rightarrow \ln \left|1-1\right|=-\infty \,$
^ T.Regge, J.A. Wheeler, "Stability of a Schwarzschild singularity", Phys. Rev. 108, 1063 (1957)
^ $d{\bar {t}}=dt+{\frac {2GM}{r-2GM}}dr$
^ ^a ^b Ray d'Inverno, 16.6 Eddington–Finkelstein coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 219-221, ISBN 0-19-859686-3.
^ Dalla definizione di $v$ si ha $d{\bar {t}}=dv-dr$ , che va sostituito nella formula precedente
^ Come per ricavare la formula (2), avendo $d\Omega ^{2}=0$ e $ds^{2}=0$ , si calcola $dv/dr$ e poi si integra
^ Ray d'Inverno, 16.7 Event horizons, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, p. 222, ISBN 0-19-859686-3.
^ Ray d'Inverno, 16.8 Black holes, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 223-224, ISBN 0-19-859686-3.

Bibliografia

Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, ISBN 0-19-859686-3.

Voci correlate

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[:2-1] A.S. Eddington, A Comparison of Whitehead's and Einstein's Formulæ (PDF), in Nature, vol. 113, n. 2832, Feb 1924, p. 192, Bibcode:1924Natur.113..192E, DOI:10.1038/113192a0.

[2] David Finkelstein, Past-Future Asymmetry of the Gravitational Field of a Point Particle, in Phys. Rev., vol. 110, 1958, pp. 965–967, Bibcode:1958PhRv..110..965F, DOI:10.1103/PhysRev.110.965.

[3] Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.

[4] Robert M. Wald, 6.4, in General Relativity, 1984, p. 149.
«due semplici esempi che gettano un po' di luce sulla natura della questione»

[:0-5] Ray d'Inverno, 16.4 Space-time diagram in Schwarzschild coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 216-217, ISBN 0-19-859686-3.

[6] $r\rightarrow 2GM\Longrightarrow \ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\rightarrow \ln \left|1-1\right|=-\infty \,$

[7] T.Regge, J.A. Wheeler, "Stability of a Schwarzschild singularity", Phys. Rev. 108, 1063 (1957)

[8] $d{\bar {t}}=dt+{\frac {2GM}{r-2GM}}dr$

[:1-9] Ray d'Inverno, 16.6 Eddington–Finkelstein coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 219-221, ISBN 0-19-859686-3.

[10] Dalla definizione di $v$ si ha $d{\bar {t}}=dv-dr$ , che va sostituito nella formula precedente

[11] Come per ricavare la formula (2), avendo $d\Omega ^{2}=0$ e $ds^{2}=0$ , si calcola $dv/dr$ e poi si integra

[12] Ray d'Inverno, 16.7 Event horizons, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, p. 222, ISBN 0-19-859686-3.

[13] Ray d'Inverno, 16.8 Black holes, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 223-224, ISBN 0-19-859686-3.

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