Decomposizione di una matrice

In matematica, in particolare in algebra lineare, la decomposizione di una matrice o fattorizzazione di una matrice è la fattorizzazione di una matrice nel prodotto di più matrici. Vi sono diverse decomposizioni matriciali in letteratura, ognuna delle quali associata ad una certa classe di problemi.

Elenco di alcune delle decomposizioni più utilizzate

• Decomposizione LU
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • Decomposizione: $A=LU$, dove $L$ è una matrice triangolare inferiore e $U$ una matrice triangolare superiore.
• Decomposizione di Cholesky
  • Applicabile a: matrici quadrate, matrici simmetriche, definite positive.
  • Decomposizione: $A=U^{T}U$, dove $U$ è una matrice triangolare superiore con elementi sulla diagonale positivi.
• Decomposizione QR
  • Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$.
  • Decomposizione: $A=QR$ dove $Q$ è una matrice ortogonale di dimensione $m\times m$ e $R$ una matrice triangolare superiore di dimensione $m\times n$.
• Decomposizione ai valori singolari
  • Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$.
  • Decomposizione: $A=UDV^{H}$, dove $D$ è una matrice diagonale non-negativa, $U$ e $V$ sono matrici unitarie, e $V^{H}$ denota la trasposta coniugata di $V$.
• Teorema spettrale
  • Applicabile a: matrici quadrate con autovettori distinti (ma non necessariamente anche distinti autovalori).
  • Decomposizione: $A=VDV^{-1}$, dove $D$ è una matrice diagonale composta da autovalori di $A$ e le colonne di $V$ sono i corrispondenti autovettori.
• Forma canonica di Jordan
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • La forma canonica di Jordan generalizza la decomposizione spettrale a casi in cui vi sono autovalori ripetuti e non è possibile effettuare la diagonalizzazione. Vi è inoltre la decomposizione di Jordan-Chevalley, che può essere facilmente descritta quando si conosce la forma canonica di Jordan; a differenza di essa, però, esiste sotto ipotesi più deboli (non richiede la scelta di una base).
• Decomposizione di Schur
  • Applicabile a: matrici quadrate.
  • Decomposizione (versione complessa): $A=UTU^{H}$, dove $U$ è una matrice unitaria, $U^{H}$ è la trasposta coniugata e $T$ è una matrice triangolare superiore detta forma di Schur complessa, che possiede gli autovalori di $A$ sulla diagonale. Una matrice complessa ammette sempre una decomposizione di Schur.
  • Decomposizione (versione reale): $A=VSV^{T}$, dove $A$, $V$, $S$ e $V^{T}$ (la trasposta di $V$) sono matrici reali. In tal caso $V$ è ortogonale, $S$ è una matrice triangolare superiore a blocchi detta forma di Schur reale. Una matrice reale ammette una decomposizione di Schur se e solo se posside tutti gli autovalori reali.
• Decomposizione QZ
  • Applicabile a: due matrici quadrate.
  • Decomposizione (versione complessa): $A=QSZ^{H}$ e $B=QTZ^{H}$ dove $Q$ e $Z$ sono unitarie, $S$ e $T$ triangolari superiori.
  • Decomposizione (versione reale): $A=QSZ^{T}$ e $B=QTZ^{T}$, dove $A$, $B$, $Q$, $Z$, $S$ e $T$ sono matrici reali. In tal caso $Q$ e $Z$ sono ortogonali, $S$ e $T$ triangolari superiori a blocchi.
• Fattorizzazione di Takagi
  • Applicabile a: matrici quadrate, complesse e simmetriche.
  • Decomposizione: $A=VDV^{T}$, dove $D$ è diagonale e non-negativa e $V$ è unitaria.
• Fattorizzazione non-negativa
  • Applicabile a: matrici di dimensione $m\times n$ non-negative.
  • Decomposizione: $A=WH$, dove $W$ e $H$ possiedono elementi positivi.
  • La fattorizzazione non negativa è una soluzione, in genere di minimo locale, della funzione obiettivo:

$f(W,H)={\frac {1}{2}}\|A-WH\|_{F}^{2}$

con i vincoli $w_{i,j}\geq 0$ e $h_{h,k}\geq 0$.

Altre decomposizioni

• Decomposizione polare
• Analisi delle componenti principali

Bibliografia

• (EN) Ben Noble e James W. Daniel, Applied linear algebra, Londra, Pearson Education, 1987, ISBN 978-01-30-41260-7. pp. Sect. 9.4–9.5
• (EN) David M. Young e Robert T. Gregory, A survey of numerical mathematics, Dover Pubs, 1989, ISBN 978-04-86-65691-5.
• (EN) Gilbert Strang, Linear algebra and its applications, Boston, Cengage Learning, Inc, 2004, ISBN 978-05-34-42200-4.
• (EN) Josef Stoer e Roland Bulirsch, Introduction to numerical analysis, Berlino, Springer, 1993.
• (EN) Harm Bart, Israel Gohberg e Marinus A. Kaashoek, Minimal factorization of matrix and operator functions, Basilea, Birkhäuser, 1979, ISBN 978-37-64-31139-1.
• (EN) Carl P. Simon e Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists, New York, WW Norton & Co, 2010, ISBN 978-03-93-11752-3.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Diagonalizzabilità
• Fattorizzazione
• Matrice

Collegamenti esterni

• matrice, decomposizione di una, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) M. Hazewinkel, Matrix factorization, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Online Matrix Calculator, su bluebit.gr. URL consultato il 17 aprile 2014 (archiviato dall'url originale il 12 dicembre 2008).
• GraphLab GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.