Corrente di spostamento

In fisica, la corrente di spostamento è una grandezza fisica che serve a rappresentare la variazione temporale del campo elettrico, introdotta per descrivere la formazione di un campo magnetico in presenza di un campo elettrico variabile nel tempo.^[1] Tale grandezza esprime a livello generale il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici, e permette di descrivere completamente il campo elettromagnetico attraverso le equazioni di Maxwell.^[2]

Definizione

Si consideri il vettore induzione elettrica, definito come:

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

dove $\mathbf {E}$ è il campo elettrico e $\mathbf {P}$ la polarizzazione elettrica. La densità di corrente di spostamento è definita come la variazione nel tempo del vettore induzione elettrica:^[1]

\mathbf {J} _{s}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

o, equivalentemente:

\mathbf {J} _{s}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}

Dove l'ultimo termine al secondo membro è la densità di corrente di polarizzazione.

La corrente di spostamento che attraversa una data superficie $S$ è allora definita nella sua forma più generale come il flusso della densità di corrente di spostamento attraverso tale superficie:^[3]

i_{s}=\int _{\mathbf {S} }\mathbf {J} _{s}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

Nel caso del vuoto, essendo la polarizzazione elettrica nulla, la corrente di spostamento assume la forma:

i_{s}=\varepsilon _{0}\int _{\mathbf {S} }{\frac {\partial \mathbf {E} (t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

La contraddizione nel condensatore a facce piane

Rappresentazione schematica di un circuito con un condensatore piano attraversato da una corrente variabile

i(t)

. Se non si considera la corrente di spostamento, per la Legge di Caputo-Ampère la circuitazione di

\mathbf {B}

lungo la frontiera di

S_{1}

vale

i(t)

mentre lungo la frontiera di

S_{2}

vale 0, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità.

Si supponga di caricare un condensatore con una corrente $i(t)$ . Se si applica la legge di Ampère, ovvero si calcola la circuitazione del campo magnetico lungo un cammino chiuso che delimita la superficie $S_{1}$ , la quale racchiude una delle due armature, si ottiene che l'integrale di linea di $\mathbf {B}$ lungo la linea $l$ che racchiude $S_{1}$ fornisce:

\oint _{l}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}i

Se si calcola, invece, la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa che delimita una superficie $S_{2}$ posta all'interno del condensatore, ma tale da non contenere nessuna delle due armature al suo interno, essa è nulla.^[4] Tale risultato viola l'equazione di continuità per la corrente elettrica in circuiti interrotti da condensatori: si tratta di una contraddizione dovuta all'aver trascurato la corrente di spostamento tra le armature del condensatore, all'interno del quale è presente un campo elettrico variabile nel tempo $\mathbf {E} (t)$ .

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie $S_{2}$ è:

\Phi (\mathbf {E} )=\int _{\mathbf {S_{2}} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S_{2}}

dove il campo elettrico, nel caso di un condensatore piano, è:

\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}\mathbf {n}

in cui $\sigma \,$ è la densità superficiale di carica sulle armature.

Per il teorema del flusso si ha che:(è il teorema di Gauss applicato ad una superficie chiusa di cui fa parte S2, per esempio un cilindro o tronco di cono con basi S1 ed S2. Poiché il campo attraversa solo S2 si arriva all’equazione seguente))

Q=\varepsilon _{0}\,\Phi (\mathbf {E} )

e derivando rispetto al tempo si ottiene la corrente di spostamento:

i=\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (\mathbf {E} )=\varepsilon _{0}\int _{\mathbf {S_{2}} }{\frac {\partial \mathbf {E} (t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

Nonostante non sia costituita dal moto di cariche elettriche reali, tale corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità, dal momento che il flusso della densità di corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta il condensatore.^[4]

Legge di Ampère-Maxwell

Un campo elettrico variabile nel tempo è sperimentalmente sorgente di un campo magnetico, rendendo necessaria una estensione della legge di Ampère. Inserendo la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità si ottiene:

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=0

Come già visto, la densità di corrente di spostamento si annulla nel caso stazionario.^[3]

Inserendo la densità di corrente generalizzata nella legge di Ampère nel vuoto:^[5]^[6]

\mathbf {\nabla \times B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

si ottiene la legge di Ampère-Maxwell nel vuoto.^[7].

Note

^ ^a ^b Jackson, Pag. 238.
^ Jackson, Pag. 239.
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini, Pag. 397.
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini, Pag. 400.
^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8.
^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0.
^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 398.

Bibliografia

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.