Diagonale

In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di $n>2$ vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno $n-3$ diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di $n>2$ vertici è dato dalla formula

d={\frac {n(n-3)}{2}}

Dimostrazioni

Dimostrazione 1

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli $n$ punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti $n-1$ (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale $n-1$ diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da

A_{1}

partono

n-1

diagonali;

da

A_{2}

partono

n-2

diagonali (si toglie quella proveniente da

A_{1}

);

da

A_{3}

partono

n-3

diagonali (si tolgono quelle provenienti da

A_{1}

e

A_{2}

);

...

da

A_{n}

partono

n-n=0

diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

0+1+2+...+(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}},

da cui però bisogna togliere gli $n$ lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

{\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento ${\overline {A_{1}A_{4}}}$ e il segmento ${\overline {A_{4}A_{1}}}$ rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con $n$ oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di $n$ oggetti di classe 2

C_{n,2}={n \choose 2}={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n(n-1)}{2}}.

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero $n$ dei vertici del poligono

d={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-1)-2n}{2}},

da cui $d={\frac {n(n-3)}{2}}.$

Analisi empirica

L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula

x^{2}-3x-2y=0

, dove

x

è il numero dei lati e

y

è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati	Diagonali
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

Lati	Diagonali
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135

Lati	Diagonali
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299

Lati	Diagonali
27	324
28	350
29	377
30	406
31	434
32	464
33	495
34	527

Lati	Diagonali
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

${\begin{cases}an_{1}^{2}+bn_{1}+c=d_{1}\\an_{2}^{2}+bn_{2}+c=d_{2}\\an_{3}^{2}+bn_{3}+c=d_{3}\end{cases}}$

dove $n_{i}$ è il numero dei lati e $d_{i}$ è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia $n_{i}$ che $d_{i}$ sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono $a,b,c$ . Sostituendo, ad esempio, $n_{1}=3,n_{2}=4,n_{3}=5$ e i corrispondenti valori di $d_{i}$ si ha