Discussione:Formula prodotto di Eulero

Il prodotto di Eulero NON è la stessa cosa della formula prodotto di Eulero. Infatti su en.wiki sono voci distinte. Per generali serie di Dirichlet non è detto esista il prodotto di Eulero. Esistono condizioni sugli a_n che garantiscono tale esistenza. Sarebbe opportuno non unire un teorema (cioè la proprietà di una specifica serie di Dirichlet) con un oggetto matematico ben definito come il prodotto di Eulero. --Mat4free (msg) 22:56, 13 set 2013 (CEST)

Non sono d'accordo. Innanzitutto non mi sembra che su en.wiki ci siano due voci separate, ma piuttosto c'è una voce sul prodotto in generale e una sezione sulla voce sulla funzione zeta (cosa che abbiamo anche noi). La differenza quindi è che da noi c'è questa voce in cui si parte dal caso particolare per poi parlare del caso generale, mentre da loro si parte direttamente dal caso generale (e si menziona brevemente il caso particolare). Poi di là c'è anche una voce sulla dimostrazione, ma questo è un altro discorso.

Oltre a ciò non credo che la differenza di nomi sia così chiara, ma sopratutto dato che le formula hanno la stessa dimostrazione, la stessa storia e vengono usate negli stessi contesti, non vedo perché si debbano sdoppiare i contenuti su due voci diverse.--Sandro_bt (scrivimi) 07:51, 14 set 2013 (CEST)

A me queste sembrano due voci diverse:

https://en.wiki.x.io/wiki/Euler_product (voce sui prodotti di Eulero, che corrisponde alla seconda parte della nostra)

https://en.wiki.x.io/wiki/Euler_product_formula (voce sulla dimostrazione della formula prodotto di Eulero nel caso della funzione zeta di Riemann, che coincide con la prima parte della nostra)

più quella sulla funzione zeta di Riemann:

https://en.wiki.x.io/wiki/Riemann_zeta_function#Euler_product_formula

Comunque provo a spiegarmi meglio. Il "prodotto di Eulero" è un oggetto matematico a sé stante, non una formula. Esso è una particolare classe di prodotti infiniti, come dire una "serie di potenze" (che è una particolare classe di serie di funzioni) e, almeno a priori, non c'è alcun motivo per utilizzare i prodotti di Eulero solamente nel contesto delle L-funzioni. Il fatto che spesso vengono usati nello stesso contesto secondo me non giustifica il dover mantenere un'unica voce. Ci sono molte voci separate di cose che spesso vengono usate nello stesso contesto (ad esempio le funzioni derivabili e il teorema di Lagrange si usano spesso nello stesso contesto ma sono voci diverse), ma non è solo per questo. Penso anche che il fatto che prodotti di Eulero, sotto opportune ipotesi, danno luogo a serie di Dirichlet convergenti (e viceversa) siano dei teoremi, cioè delle proprietà dei prodotti di Eulero e delle serie di Dirichlet e non esse stesse. In caso proprio si voglia lasciare un'unica voce (che se ben scritta, secondo me, diventerebbe troppo grande e andrebbe comunque scissa), che sia almeno intitolata "prodotto di Eulero" e si releghi la dimostrazione della proprietà, nota come formula prodotto di Eulero, della funzione zeta di Riemann ad un sottoparagrafo, in quanto è la dimostrazione di un teorema più generale in un caso particolare (quello in cui il prodotto di Eulero è di grado 1 e la successione dei coefficienti a_n della serie di Dirichlet è la successione costante 1). (Vedi ad esempio il libro di Knapp "Elliptic curves" capitolo VII sezione 2.) Fare il contrario (come è adesso) sarebbe, concettualmente, come fare una voce che dimostra la proprietà commutativa dei numeri reali e poi sotto generalizzare e parlare dei gruppi abeliani qualunque. L'unica differenza è che nel caso in questione, del prodotto di Eulero, i nomi sono più simili, ma questo è più un caso che altro. --Mat4free (msg) 12:55, 14 set 2013 (CEST)

La seconda voce che citi ero convinto di averla citata già io, ma a quanto pare non è così effettivamente l'avevo citata, in ogni caso non è una voce sulla formula prodotto di Eulero, ma sulla sua dimostrazione.

Detto questo, il paragone con reali e gruppi abeliani non mi pare sia troppo calzante. Infatti la formula prodotto di Eulero no è un caso del prodotto di Eulero, ma il caso principale e più importante da tutti i punti di vista, tutti gli altri (anche per gradi superiori a 1) sono generalizzazioni più o meno ovvie (o meglio, ovvie una volta che si conoscono le proprietà moltiplicative degli oggetti associati). Tra l'altro spessissimo nella letteratura scientifica la formula prodotto di Euero viene chiamata semplicemente prodotto di Eulero anche nel caso della funzione di Riemann.

Poi è vero che i prodotti di Eulero possono essere visti anche semplicemente come particolari tipi di produttorie, ma in pratica quand'è che vengono usati ignorando l'aritmetica che ci sta dietro?

Personalmente comunque sposterei questa voce a Prodotto di Eulero, partendo a descrivere il caso della funzione zeta, dando solo una dimostrazione, dicendo che si estende a serie di Dirichlet con coefficienti moltiplicativi (con qualche esempio), e poi iniziando a citare brevemente gli altri casi (funzioni L associate a curve ellittiche, forme modulari, funzioni L di Dedekind), menzionando la classe di Selberg e mettendo una sezione con le costante principali espresse in quella forma. Credo che una voce ben fatta e sufficientemente esaustiva si possa tranquillamente scrivere in 30-40kb, quindi ben al di sotto al limite per lo scorporo.

Poi comunque non sarebbe un dramma avere due voci separate (l'unico problema sarebbero lo sdoppiamento di un po' di contenuti, visto che la voce sul prodotto di Eulero dovrebbe comunque menzionare adeguatamente il suo esempio principe), l'importante è che le voci siano fatte bene, indipendentemente da in che modo le si voglia dividere.--Sandro_bt (scrivimi) 12:59, 16 set 2013 (CEST)

Premesso che sono d'accordo che l'importante è che le voci siano fatte bene, che siano divise o no, ho alcune cose da obiettare alle tue osservazioni.

Ho visto che hai citato il link, ma non sono d'accordo del tutto con quello che dici. La voce è sulla "formula prodotto di Eulero" (infatti se scrivi "Euler product formula" ti rimanda là) che è un teorema (o proprietà), quindi è anche ovvio che la voce su di essa sarà principalmente la sua dimostrazione. In ogni caso questa è identica alla prima parte della nostra voce.

Il fatto che al momento non so dirti (anche perché non ho avuto tempo di cercare) dove non si usa l'aritmetica, non vuol dire che in teoria non si possa fare (sia che ci siano già tali applicazioni, sia che ci saranno in futuro) e non giustifica il confinarlo in questo ambito. Ogni generalizzazione possibile andrebbe trattata soprattutto in un'enciclopedia. E sempre su questa linea di ragionamento, penso che sarebbe opportuno (come hai detto anche tu) chiamare la voce "prodotto di Eulero" (ammesso che si voglia lasciare una sola voce), ma non sono d'accordo di iniziare con il caso facile e storicamente scoperto per primo. Penso che in un'enciclopedia si debba dare prima di tutto una definizione generale e poi discutere casi particolari e dimostrazioni di proprietà. Al contrario in un testo didattico (ma non credo sia il caso di questo progetto di wikipedia) è opportuno far arrivare il lettore al caso generale, partendo dai casi più semplici o a lui più noti, magari ripercorrendo l'excursus storico. Un'enciclopedia deve fungere un po' da manuale. Io la prima volta che sono arrivato in questa voce nemmeno mi ero accorto che dopo si generalizzava.

Infine per quanto riguarda l'esempio dei numeri reali, ribadisco che è assolutamente calzante nel rispetto della logica che voglio evidenziare, cioè: prima c'è una dimostrazione del caso molto particolare anche se il più noto e importante e poi c'è una generalizzazione. Ma comunque ti posso portare altri esempi: dimostrare che la serie geometrica di ragione 1/2 converge e poi parlare delle serie di potenze; dimostrare un'equazione ax+b=0 con a non zero ha sempre soluzione -b/a e poi parlare di sistemi lineari in m equazioni e n incognite, ecc.--Mat4free (msg) 20:33, 18 set 2013 (CEST)

Scusa il ritardo, ma sono stato preso da altre cose. Cmq, brevemente, Wikipedia deve parlare delle conoscenze già ben acquisite. Quanto ai prodotti di Eulero in sé, è quasi impossibile scinderli dall'aritmetica. Visto che il prodotto è indicizzato sui primi, l'aritmetica ci entra in ogni caso. Addirittura se uno considera i prodotti $\prod _{p}(1+{\frac {r_{p}}{p^{s}}})$ con $r_{p}$ variabile casuale casuale, uno ottiene risultati strettamente connessi con la funzione zeta di Riemann e quindi anche là l'aritmetica ci entra di prepotenza (in particolare se $r_{p}$ è $\pm 1$ con probabilità 1/2, quel prodotto modella $\zeta (s)^{-1}$).--Sandro_bt (scrivimi) 07:34, 8 ott 2013 (CEST)

Non ti preoccupare, penso che tutti abbiamo altre cose da fare. Comunque, per le motivazioni già esposte, resto convinto della necessità di dividere le due voci. Penso comunque che sarebbe almeno opportuno cambiare nome alla voce e invertire l'ordine di presentazione degli argomenti, come ho già detto sopra. Su questo non hai ribattuto. Sarebbero interessanti, inoltre, anche altre opinioni.--Mat4free (msg) 10:19, 13 ott 2013 (CEST)

Sul nome per me va bene cambiarlo, sull'ordine io sarei più per partire col particolare e passare al generale, ma l'importante è che la voce sia fatta bene. Altre opinioni sarebbero sicuramente interessanti, ma ci sarà da aspettare!--Sandro_bt (scrivimi) 06:35, 14 ott 2013 (CEST)