Disuguaglianza

In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme, stabilisce cioè una relazione tra i numeri usando i simboli di disuguaglianza, che sono:^[1]

$<$ (minore)
$>$ (maggiore)
$\leq$ (minore o uguale)
$\geq$ (maggiore o uguale)

Le prime due esprimono una disuguaglianza in senso stretto, le ultime due esprimono una disuguaglianza in senso largo.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Notazione

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti $a\geqslant b$ e $b\leqslant a$ , che si leggono " $a$ è maggiore o uguale a $b$ " e " $b$ è minore o uguale ad $a$ ".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti $a>b$ e $b<a$ , lette " $a$ è maggiore di $b$ " e " $b$ è minore di $a$ ".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile $a\gg b$ (o $b\ll a$ ), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro (" $a$ è molto maggiore di $b$ "), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra (" $a$ domina $b$ "). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Proprietà

Ordine totale

Una relazione d'ordine (larga o stretta) definita in un insieme è totale se, considerati due qualsiasi elementi dell'insieme $a$ e $b$ distinti tra loro, risulta sempre che $a$ è in relazione con $b$ , oppure che $b$ è in relazione con $a$ ^[2].

Una relazione d'ordine non totale è chiamata relazione d'ordine parziale.

Per esempio nell'insieme $I=\left\{2,3,6,9,18\right\}$ la relazione " $a<b$ " è totale perché è possibile mettere a confronto tutti gli elementi dell'insieme. Se invece si considera, nello stesso insieme, la relazione " $a$ multiplo di $b$ ", questa è una relazione parziale perché per esempio $9$ non è un multiplo di $2$ .

Antisimmetria e tricotomia

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la proprietà di tricotomia:

\forall a,b

vale una e una sola delle tre relazioni

a>b,\;\;\;a<b,\;\;\;a=b

.

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

\forall a,b\qquad a\leqslant b\quad {\text{e}}\quad b\leqslant a\implies a=b

.

Somma e sottrazione

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero^[3]:

per ogni tre numeri reali $a,b$ e $c$ sono equivalenti: $a>b$ , $\;\;\;a+c>b+c$ , $\;\;\;a-c>b-c$ .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri $a$ e $b$ è equivalente a verificare se la loro differenza $a-b$ è positiva o negativa, ovvero a confrontare $a-b$ e $0$ . Inoltre $a>0$ equivale a $-a<0$ , così come $a>b$ equivale a $-a<-b$ .

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

per ogni terna di numeri reali $a,b$ e $c$ ,
- se $c>0$ allora sono equivalenti: $a>b$ , $\;\;\;ac>bc$ , $\;\;\;{\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$ ;
- se $c<0$ allora sono equivalenti: $a>b$ , $\;\;\;ac<bc$ , $\;\;\;{\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$ .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo $-c$ al posto di $c$ .

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

Disequazione e segno

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo $f>0$ anche quando $f$ è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che $f$ assume solo valori strettamente positivi, ovvero che $f(x)>0$ per ogni $x$ nel dominio di $f$ . In questo caso si parla si segno di una funzione o, equivalentemente, di insieme di positività di una funzione. Nello stesso modo, $f>g$ indica che $f-g>0$ , ovvero che $f(x)>g(x)$ per ogni $x$ nel comune dominio di $f$ e $g$ . Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo. Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuni

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

Note

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.568
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.236
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7. p.140

Bibliografia

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.