Disequazione cubica

Una disequazione cubica è una disequazione che, una volta ridotta in forma canonica, ha grado pari a 3, cioè si può ricondurre a una forma del tipo:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;\;\;$, oppure $\;<,\;\leq ,\;\geq 0$

con $a\neq 0\;$ e $a,b,c$ e $d$ numeri reali o complessi.

Metodi risolutivi

Non esiste un modo univoco per risolvere una disequazione di terzo grado; il metodo dipende dall'espressione che ha la disequazione data.

Regola di Ruffini

Un metodo, anche se non sempre applicabile, è la regola di Ruffini. Ad esempio la disequazione:

$x^{3}-2x^{2}-5x+6>0$

può essere scomposta con la regola di Ruffini nel prodotto:

$(x-1)(x+2)(x-3)>0$

Studiando il segno dei singoli binomi e mettendoli a confronto tra loro, si vanno a trovare gli intervalli in cui il polinomio di terzo grado risulta positivo: in questo caso le soluzioni sono date da $-2<x<1\;\lor \;x>3$.

Metodo grafico

Quando la scomposizione con Ruffini non può essere utilizzata si può ricorrere al metodo grafico, che consiste nel riscrivere la disequazione generica:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;$,

nella forma:

$ax^{3}>-bx^{2}-cx-d\;$.

Il primo e il secondo membro della disequazione possono essere visti come grafici di due funzioni:

$f(x)=ax^{3}\;\;\;$ e $\;\;\;g(x)=-bx^{2}-cx-d$

dove la prima funzione è una cubica e la seconda è una parabola.

Dato che il grado della disequazione è $3$, in campo reale possono esserci al massimo tre punti in cui la cubica e la parabola si incontrano. Una volta tracciati i grafici su un piano cartesiano, si vanno a cercare (se ci sono) i punti di intersezione e si sceglie infine l'intervallo in cui il grafico della cubica sta sopra al grafico della parabola, cioè l'intervallo o gli intervalli in cui la funzione cubica è maggiore della parabola.

Nel metodo grafico non è possibile trovare il valore o i valori esatti che delimitano gli intervalli di soluzione poiché, se così fosse, il polinomio di terzo grado sarebbe scomponibile con Ruffini. I valori approssimati vanno cercati con metodi di approssimazione per la soluzione di equazioni, come per esemppio il metodo di bisezione o il metodo delle secanti.

Disequazioni binomie

Le disequazioni binomie sono nella forma:

$ax^{n}+d>0\;\;$ oppure $\;\;<,\leq ,\geq$.

Quando si hanno $b=c=0$, la disequazione si riduce nella forma:

$ax^{3}+d>0$

che è un caso particolare di disequazione binomia con $n=3$. Questo tipo di disequazione si risolve banalmente portando il termine noto $d$ a destra del segno di disuguaglianza ed estraendo successivamente la radice cubica, dopo aver diviso tutto per $a$:

$ax^{3}>-d\;\;\;\to \;\;\;x^{3}>-{\frac {d}{a}}\;\;\;\to \,\;\;x>{\sqrt[{3}]{-{\frac {d}{a}}}}$

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2, Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazioni quadratiche
• Disequazioni irrazionali
• Regola di Ruffini