Distribuzione di Birnbaum-Saunders

In teoria delle probabilità la distribuzione di Birnbaum-Saunders, noto anche come distribuzione della vita a fatica, è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da due parametri, definita sui numeri reali positivi e utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue).

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

$f(t|\alpha ,\beta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {{\sqrt {t/\beta }}+{\sqrt {\beta /t}}}{2\alpha t}}e^{-{\frac {({\sqrt {t/\beta }}-{\sqrt {\beta /t}})^{2}}{2\alpha ^{2}}}}$

È legata alla variabile casuale normale standardizzata dalle seguenti relazioni:

Se Z~N(0;1) e

$T=\beta \left[{\frac {\alpha Z}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\alpha Z}{2}}\right)^{2}+1}}\,\right]^{2}$

allora T è una variabile casuale di Birnbaum-Saunders con parametri $\alpha$ e $\beta$.

Se T~BS(α , β) allora

$Z={\frac {1}{\alpha }}\left({\sqrt {\frac {T}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{T}}}\right)$

è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

$m_{n}=\beta \sum _{j=0}^{n}{2n \choose 2j}\sum _{i=0}^{j}{j \choose i}{\frac {(2(n-j+i))!}{2^{n-j+i}(n-j+i)!}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2(n-j+i)}$

per cui valore atteso, e la mediana sono

$\mu ={\frac {1}{2}}\beta (\alpha ^{2}+2)$

mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

$\sigma ^{2}={\frac {1}{4}}\beta ^{2}(5\alpha ^{4}+4\alpha ^{2})$

$cv={\frac {(5\alpha ^{4}+4\alpha ^{2})^{1/2}}{\alpha ^{2}+2}}$

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

${\frac {44\alpha ^{3}+24\alpha }{(5\alpha ^{2}+4)^{3/2}}}$

$3+{\frac {558\alpha ^{4}+240\alpha ^{2}}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}$

dall'assenza di β da questi ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora

• cT ~ BS(α , cβ), per valori positivi di c
• 1/T ~ BS(α , 1/β)

La funzione cumulata F(x) è data da

$F(x)=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left({\sqrt {\frac {x}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\right)\right)$

dove $\Phi (\cdot )$ è la funzione cumulata di una Normale standardizzata N(0,1)

L'inversa della funzione cumulata $x(p)=F^{-1}(p)$, utile per calcolare i quantili o generare numeri casuali, è data da

$x(p)=\beta \left({\frac {\alpha z_{p}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\alpha z_{p}}{2}}\right)^{2}+1}}\right)^{2}$, per $0<p<1$

dove $z_{p}$ è il p-esimo percentile della N(0,1), così come si trova abitualmente tabulata.

Voci correlate

• Tempo medio fra i guasti
• Funzione di ripartizione della variabile casuale normale