Disuguaglianza di Darboux

La disuguaglianza di Darboux è una disuguaglianza relativa all'integrazione sul piano complesso: essa afferma che il modulo dell'integrale di una funzione, lungo una curva del piano complesso, è sempre minore o uguale del massimo valore in modulo della funzione, moltiplicato per la lunghezza della curva. In maniera più formale, per l'integrale curvilineo di una funzione $f(z)$ lungo la curva $\gamma \subset \mathbb {C}$ la disuguaglianza di Darboux è la seguente:

$\left|{\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}}\right|\leq \int _{\gamma }{\left|{f\left(z\right)}\right|dz}\leq M\cdot l$

dove $M$ è il massimo valore in modulo assunto dalla funzione lungo la curva, e $l$ è la lunghezza della curva.

Dimostrazione: suddividiamo la curva $\gamma$ in $n$ punti $z_{1},\ldots ,z_{n}$, e tra i punti $(z_{0},z_{1});(z_{1},z_{2});\ldots ;(z_{n-1},z_{n})$ prendiamo i punti $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$. Definiamo ora

$S_{n}=f(\xi _{1})(z_{1}-z_{0})+f(\xi _{2})(z_{2}-z_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(z_{n}-z_{n-1})$

da cui si ottiene

$\lim \limits _{n\to +\infty }S_{n}=\int _{\gamma }{f\left(z\right)dz}$

e vale inoltre la seguente relazione

$\left|{S_{n}}\right|\leq \sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{f\left({\xi _{k}}\right)}\right|\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}\leq M\sum \limits _{k=1}^{n}{\left|{z_{k}-z_{k-1}}\right|}$

da cui passando al limite per $n\rightarrow +\infty$ si ottiene la disuguaglianza di Darboux.