Dodecaedro parabiaumentato

In geometria solida, il dodecaedro parabiaumentato è un poliedro con 20 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, aumentando un dodecaedro regolare facendo combaciare due delle sue facce opposte con la base di due piramidi pentagonali.

Dodecaedro parabiaumentato
Tipo	Solido di Johnson J58 - J59 - J60
Forma facce	10 Triangoli 10 Pentagoni
Nº facce	20
Nº spigoli	40
Nº vertici	22
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	10(53) 10(32.52) 2(35)
Gruppo di simmetria	D5d
Duale	Bitronco di piramide pentagonale giroelongato
Proprietà	Convessità
Sviluppo piano

Caratteristiche

Nel caso in cui le piramidi pentagonali sopraccitate abbiano come facce laterali dei triangoli equilateri, il dodecaedro parabiaumentato creato è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₅₉, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi, ed è il secondo di una serie di sette solidi platonici modificati tutti facenti parte dei solidi di Johnson.

Per quanto riguarda i 22 vertici di questo poliedro, su 10 di essi incidono tre facce pentagonale, su 10 incidono due facce pentagonali e due triangolari e sugli ultimi due vertici incidono cinque facce triangolari.

Formule

Considerando un dodecaedro parabiaumentato avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza $a$, le formule per il calcolo del volume $V$ e della superficie $A$ risultano essere:

$V={\frac {a^{3}}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)\approx 8,2661246\ldots a^{3};$

$A={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 21,5349010\ldots a^{2}.$

Poliedro duale

Il poliedro duale del sopraccitato dodecaedro parabiaumentato è un bitronco di piramide pentagonale giroelongato.

Poliedri correlati

Il dodecaedro parabiaumentato può essere ancora aumentato o diminuito utilizzando una piramide a base pentagonale e formando, rispettivamente, un dodecaedro triaumentato o un dodecaedro aumentato, anch'essi facenti parte dei solidi di Johnson. Nel caso limite in cui a tutte le facce del dodecaedro si aggiungesse una piramide pentagonale si verrebbe a creare un pentakis dodecaedro, ossia il Kleetopo di un dodecaedro, che però non è un solido di Johnson.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Dodecaedro parabiaumentato, su MathWorld, Wolfram Research.