Dodecaedro troncato metabiaumentato

In geometria solida, il dodecaedro troncato metabiaumentato è un poliedro con 52 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, aumentando un dodecaedro troncato facendo combaciare due delle sue facce decagonali non parallele e non adiacenti con la base di due cupole pentagonali.

Dodecaedro troncato metabiaumentato
Tipo	Solido di Johnson J69 - J70 - J71
Forma facce	5×2+5×4 Triangoli 2+2×4 Quadrati 2 Pentagoni 10 decagoni
Nº facce	52
Nº spigoli	120
Nº vertici	70
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	4×2+8×4(3.102) 2+2.4(3.4.5.4) 5×4(3.4.3.10)
Gruppo di simmetria	C2v
Proprietà	Convessità
Sviluppo piano

Caratteristiche

Il dodecaedro troncato metabiaumentato è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₇₀, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi, ed è il sesto di una serie di diciannove solidi archimedei modificati tutti facenti parte dei solidi di Johnson.

Per quanto riguarda i 70 vertici di questo poliedro, su 40 di essi incidono due facce decagonali e una triangolare, su altri 20 incidono una faccia decagonale, una quadrata e due triangolari, e sugli altri 10 incidono una faccia pentagonale, due quadrate e una triangolare.

Formule

Considerando un dodecaedro troncato metabiaumentato avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza $a$, le formule per il calcolo del volume $V$ e della superficie $A$ risultano essere:

$V={\frac {a^{3}}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)\approx 89,6877552\ldots a^{3};$

$A={\frac {a^{2}}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+\left(50+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 103,3734243\ldots a^{2}.$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Dodecaedro troncato metabiaumentato, su MathWorld, Wolfram Research.