Equazione di Hill (matematica)

In matematica, l'equazione di Hill è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, introdotta da George William Hill nel 1886, che ha la forma:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0

dove $f(t)$ è una funzione periodica.^[1]

Se il periodo è $\pi$ l'equazione si può riscrivere utilizzando la serie di Fourier di $f(t)$ :

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0

Vi sono importanti casi particolari di questa equazione; in particolare l'equazione differenziale di Mathieu, l'equazione di Meissner e l''equazione differenziale di Whittaker-Hill:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+[A+B\cos(2x)+C\cos(4x)]y=0

A seconda del comportamento di $f(t)$ le soluzioni dell'equazione di Hill possono essere limitate oppure crescere esponenzialmente,^[2] ciò rende l'equazione particolarmente significativa nello studio delle equazioni differenziali periodiche. La forma precisa delle soluzioni è descritta dalla teoria di Floquet.

Note

^ W. Magnus e S. Winkler, Hill's equation, New York-London-Sydney, Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.
^ Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Bibliografia

(EN) G.W. Hill, On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon, in Acta Math., vol. 8, n. 1, 1886, pp. 1–36, DOI:10.1007/BF02417081.
(FR) Riesz, F Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues (Parigi, Gauthier-Villars, 1913).
(EN) Whittaker, ET e Watson GN Course of Modern Analysis p. 406 (Cambridge University Press, 1915).

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Hill's Differential Equation, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Yu.V. Komlenko, Hill equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) Magnus, W; Shenitzer, Abe Hill's equation. Part I. General theory (1957)
(EN) Magnus, W; Winkler, S Hill's equation. II: Transformations, approximation, examples (1961)
(EN) Magnus, W. Infinite determinants in the theory of Mathieu's and Hill's equations Pacific J. Math. Volume 5, Suppl. 2 (1955), 941-951.
(EN) R. E. Mills Solutions and approximate solutions to a Hill's equation and the Mathieu equation.^{[collegamento interrotto]} (1957)

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[1] W. Magnus e S. Winkler, Hill's equation, New York-London-Sydney, Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.

[2] Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

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