Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un'equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo è un'equazione differenziale lineare in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

Definizione

Un'equazione differenziale lineare di ordine n completa a coefficienti variabili ha la forma:

$y^{(n)}+a_{1}(x)\cdot y^{(n-1)}+a_{2}(x)\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}(x)\cdot y'+a_{n}(x)\cdot y=f(x)$

Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono funzioni costanti:

$\,y^{(n)}+a_{1}\cdot y^{(n-1)}+a_{2}\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}\cdot y'+a_{n}\cdot y=f(x)$

l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente problema di Cauchy:

${\begin{cases}y(x=x_{0})=y_{0}\\y'(x=x_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n)}(x=x_{0})=y_{n}\end{cases}}$

è allora risolvibile e fornisce una e una sola soluzione.

Esempio

Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine n è:

$y^{(n)}=f(x)$

il cui integrale è facilmente ricavabile:

$y=\int _{n}f(x)\,dx^{n}+c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+\cdots +c_{n-1}x+c_{n}$

Si tratta di integrare n volte la $f(x)$.

Un esempio numerico è $y'''=\sin x$, dove integrando tre volte successivamente si ha:

$y''=-\cos x+c_{1}^{''}\qquad y'=-\sin x+c_{1}^{'}\cdot x+c_{2}^{'}\qquad y=\cos x+c_{1}\cdot x^{2}+c_{2}x+c_{3}$

Equazione omogenea

Si può dimostrare che il wronskiano delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:

$\lambda ^{n}+a_{1}\cdot \lambda ^{n-1}+a_{2}\cdot \lambda ^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot \lambda +a_{n}=0$

• Se le radici $\lambda _{i}$ sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:

$y=e^{\lambda _{i}\cdot x}$

• Se una radice, ad esempio $\lambda _{1}$, è soluzione multipla di molteplicità $s$, allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:

$e^{\lambda _{1}\cdot x}\quad xe^{\lambda _{1}x}\quad x^{2}e^{\lambda _{1}x}\quad \cdots \quad x^{s-1}e^{\lambda _{1}x}$

• Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero $\lambda _{1,2}=c\pm id$, allora:

$e^{cx}\cos(dx),e^{cx}\sin(dx)$

• Se la radice complessa coniugata $\lambda =c\pm id$ è multipla con molteplicità $r$ si ha:

$e^{cx}\cos(dx)\quad xe^{cx}\cos(dx)\quad x^{2}e^{cx}\cos(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\cos(dx)$

$e^{cx}\sin(dx)\quad xe^{cx}\sin(dx)\quad x^{2}e^{cx}\sin(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\sin(dx)$

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle n costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

Equazione completa

In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il metodo delle variazioni delle costanti o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:

• Sia:

$f(x)=P(x)$

dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo $u(x)=P_{1}(x)$, dove $P_{1}(x)$ è un polinomio formale di grado m. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:

$u(x)=x^{r}P_{1}(x)$

• Sia:

$f(x)=A\cdot e^{\alpha x}$

dove $A$ è una costante data. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

$u(x)=B\cdot e^{\alpha x}$

dove $B$ è una costante da determinare. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$u(x)=x^{r}\cdot B\cdot e^{\alpha x}$

• Sia:

$f(x)=P(x)\cdot e^{\alpha x}$

dove $P(x)$ è un polinomio di grado m. Se $\alpha$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

$u(x)=P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}$

dove $P_{1}$ è un polinomio formale di grado m. Nel caso $\alpha$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$u(x)=x^{r}\cdot P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}$

• Se $f$ possiede una delle seguenti espressioni:

$f(x)=A\cdot \cos(\beta x)\qquad f(x)=B\cdot \sin(\beta x)\qquad f(x)=A\cdot \cos(\beta x)+B\sin(\beta x)$

dove $A$ e $B$ sono costanti date, allora se $i\beta$ non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:

$f(x)=C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)$

dove $C$ e $D$ sono costanti da determinare. Nel caso $i\beta$ sia radice di molteplicità $r$ si cerca una soluzione del tipo:

$f(x)=x^{r}\left(C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\right)$

• Sia:

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{m}(x)$

Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:

$y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=f_{i}(x)\qquad i=1,...,m$

e successivamente sommare le $u_{i}(x)$ soluzioni:

$u=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}$

Bibliografia

• Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467–480, 1985.
• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667–674, 1953.

Voci correlate

• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria
• Wronskiano
• Metodo delle variazioni delle costanti
• Equazione omogenea di Eulero

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