Punto fuchsiano

In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano, anche detto singolarità fucsiana o punto singolare regolare, è un tipo particolare di punto singolare in corrispondenza del quale le soluzioni dell'equazione crescono non più velocemente di un polinomio. Il nome si deve a Lazarus Fuchs.

Un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea definita nel piano complesso, di cui i coefficienti sono funzioni analitiche, è detta equazione fuchsiana se tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann.

Definizione

Data un'equazione ordinaria lineare di n-esimo grado:

$f^{n}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0\qquad z\in \mathbb {C}$

con $p_{i}(z)$ funzioni meromorfe nei punti $z_{0}$, i punti $z_{0}$ sono punti singolari regolari se ogni soluzione cresce non più velocemente di un polinomio per $z\to z_{0}$. Nello specifico, per ogni intervallo $\alpha <\arg(z-z_{0})<\beta$ con $\beta -\alpha <\pi$, ogni soluzione $f_{0}(z)$ è vincolata dalla disuguaglianza:

$|f_{0}(z)|\leq C|z-z_{0}|^{-d}$

per una qualche costante $C>0$. Il punto $z_{0}=\infty$ è regolare se dopo il cambio di variabile $z=1/\tau$ l'equazione ha una singolarità regolare nel punto $\tau =0$. Un punto singolare che non è regolare è detto punto singolare irregolare.

Le equazioni in cui tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann sono dette equazioni fuchsiane. Si dice che l'equazione è di classe fuchsiana se i coefficienti hanno la forma:

$p_{i}(z)=\prod _{j=1}^{k}(z-z_{j})^{-i}q_{i}(z)$

con $z_{j}$ punti distinti e $q_{i}(z)$ un polinomio di gradi minore di $i(k-1)$.

Equazioni di secondo grado

Nel caso di un'equazione del secondo ordine:

$y''(z)+P(z)y'(z)+Q(z)y(z)=0$

il punto $z_{0}\in \mathbb {C}$ si dice un punto singolare se $P(z)$ o $Q(z)$ hanno una singolarità isolata per $z=z_{0}$. Il punto singolare $z_{0}$ si dice fuchsiano se $P(z)$ è al massimo un polo di ordine 1 e $Q(z)$ è al massimo un polo di ordine 2. Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana.

Un esempio di equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann. Ogni equazione ordinaria di secondo grado con tre punti singolari sulla sfera di Riemann può essere ricondotta all'equazione ipergeometrica (che si ottiene dall'equazione di Papperitz-Riemann), mentre nel caso vi siano quattro punti singolari può essere ridotta alla forma dell'equazione di Heun.

Teorema di Fuchs

Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre almeno una soluzione della forma:

$y_{1}(z)=(z-z_{0})^{\alpha _{1}}w_{1}(z)$

dove $\alpha _{1}$ è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado:

$x^{2}+(p_{o}-1)x+q_{o}=0$

detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione $w_{1}$ è una funzione olomorfa non nulla in $z=z_{0}$. I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti $P,Q$ nel seguente modo:

$p_{0}=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})P(z)$

$q_{0}=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{2}Q(z)$

Bibliografia

• Francesco Giacomo Tricomi Equazioni differenziali (Einaudi, Torino, 1953)
• Vladimir I. Smirnov Corso di Matematica Superiore volume 3, parte 2 (Riuniti, Roma, 1978)
• (EN) A. R. Forsyth, Theory of Differential Equations Vol. IV: Ordinary Linear Equations (Cambridge University Press, 1906)
• (EN) E. Goursat, A Course in Mathematical Analysis, Volume II, Part II: Differential Equations. p. 128-ff. (Ginn & co., Boston, 1917)
• (EN) T. M. MacRobert, Functions of a Complex Variable. p. 243 (MacMillan, London, 1917)
• (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A course of modern analysis. p. 188-ff. (Cambridge University Press, 1915)

Voci correlate

• Equazione di Heun
• Equazione di Papperitz-Riemann
• Punto singolare irregolare
• Singolarità isolata

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Punto fuchsiano, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Yu.S. Il'yashenko, Regular singular point, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) M.V. Fedoryuk, Fuchsian equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Marialuisa Frau punto fuchsiano (INFN/Università di Torino)
• Sigfrido Boffi Da Laplace a Heisenberg (Appendice B) p. 569-586 (Università di Pavia)