Equivalenza logica

Nella logica e nella matematica, due proposizioni $p$ e $q$ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.^[1] L'equivalenza logica di $p$ e $q$ è a volte espressa come $p\equiv q$ , $p::q$ , ${\textsf {E}}pq$ , o anche $p\iff q$ , a seconda della notazione adottata. Tuttavia, questi simboli sono usati anche per l'equivalenza materiale, motivo per cui la corretta interpretazione dipende dal contesto: l'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale, sebbene i due concetti siano intrinsecamente correlati.

Equivalenze logiche

Nela logica esistono molteplici equivalenze enunciate come leggi o proprietà. Di seguito se ne riportano alcune.

Equivalenze logiche generali

Equivalenza	Nome
$p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$	Leggi di identità
$p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$	Leggi di dominazione
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Leggi di idempotenza o tautologia
$\neg (\neg p)\equiv p$	Legge della doppia negazione
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Leggi commutative
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Leggi associative
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Leggi distributive
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	Leggi di De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Leggi di assorbimento
$p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$	Leggi di negazione

Equivalenze logiche che coinvolgono affermazioni condizionali

$p\implies q\equiv \neg p\vee q$
$p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
$p\vee q\equiv \neg p\implies q$
$p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
$\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
$(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
$(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)$
$(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
$(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$

Equivalenze logiche che coinvolgono bicondizionali

$p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
$p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
$p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
$\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

Esempi

Nella logica

Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:

Se Lisa è in Danimarca, allora è in Europa (una dichiarazione del tipo $d\implies e$ ),
Se Lisa non è in Europa, allora non è in Danimarca (una dichiarazione del tipo $\neg e\implies \neg d$ ).

Sintatticamente, la (1) e la (2) sono derivabili l'una dall'altra tramite le regole della contrapposizione e della doppia negazione. Semanticamente, la (1) e la (2) sono vere esattamente negli stessi modelli matematici (interpretazioni, valutazioni); vale a dire, quelli in cui o "Lisa è in Danimarca" è falsa o "Lisa è in Europa" è vera.

Si noti che in questo esempio si presuppone la logica classica. Alcune logiche non classiche non considerano la (1) e la (2) logicamente equivalenti.

Relazione con l'equivalenza materiale

L'equivalenza logica è diversa dall'equivalenza materiale. Le formule $p$ e $q$ sono logicamente equivalenti se e solo se l'affermazione della loro equivalenza materiale ( $p\iff q$ ) è una tautologia.^[2]

L'equivalenza materiale di $p$ e $q$ (spesso scritta come $p\leftrightarrow q$ ) è esso stesso un'altra istruzione nello stesso linguaggio oggetto di $p$ e $q$ .

Questa affermazione esprime l'idea che $p$ e se e solo se $q$ . In particolare, il valore di verità di $p\leftrightarrow q$ può cambiare da un modello all'altro.

D'altra parte, l'affermazione che due formule sono logicamente equivalenti è un'affermazione nel metalinguaggio, che esprime una relazione tra le due affermazioni $p$ e $q$ Le affermazioni sono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità in ogni modello.

Note

^ (EN) Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 2ª ed., 1979, pp. 56, ISBN 9780442253073.
^ (EN) Irving Copi, Carl Cohen e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, New International, Pearson, 2014, pp. 348.

Collegamenti esterni

(EN) logical equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Equivalenza logica, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 2ª ed., 1979, pp. 56, ISBN 9780442253073.

[2] (EN) Irving Copi, Carl Cohen e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, New International, Pearson, 2014, pp. 348.

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