Estensione normale

In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica $F\subseteq E$ tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi $F[x]$ che ha una radice in $E$ si spezza completamente in $E[x]$

Definizioni equivalenti

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti $F\subseteq E$ è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:

• $F\subseteq E$ è un'estensione normale;
• se $\alpha \in E$, allora tutte le radici del polinomio minimo di $\alpha$ su $F$ sono in $E$;
• ogni automorfismo di una chiusura algebrica di $E$ che fissa $F$ è un automorfismo di $E$;
• $E$ è il campo di spezzamento su $F$ di una famiglia di polinomi di $F[x]$.

Quando l'estensione $F\subseteq E$ è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che $E$ sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di $F[x]$.

Esempi

• Il campo $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ è un'estensione normale di $\mathbb {Q}$ ,in quanto esso è il campo di spezzamento di $x^{2}-2$. Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
• $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ non è un'estensione normale di $\mathbb {Q}$: infatti, ${\sqrt[{3}]{2}}$ ha come polinomio minimo $x^{3}-2$, le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ (che è contenuto in $\mathbb {R}$).
• Se $E$ è la chiusura algebrica di $F$, allora $F\subseteq E$ è normale, in quanto ogni polinomio di $F[x]$ si decompone linearmente in $E[x]$.

Proprietà

• Per definizione, un'estensione $F\subseteq E$ è di Galois se e solo se è normale e separabile.
• Se $F\subseteq E$ è un'estensione normale, e $F\subseteq L\subseteq E$, allora anche $L\subseteq E$ è normale. In generale, invece, l'estensione $F\subseteq L$ non è normale.
• Se $F\subseteq E_{1}$ e $F\subseteq E_{2}$ sono estensioni normali, allora anche $F\subseteq E_{1}\cap E_{2}$ e $F\subseteq E_{1}E_{2}$ (dove $E_{1}E_{2}$ è il campo generato da $E_{1}$ ed $E_{2}$) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.

Chiusura normale

Se $F\subseteq E$ è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione $G$ di $E$ che è la più piccola estensione normale di $F$ contenente $E$; essa è chiamata la chiusura normale di $E$ su $F$, ed è unica a meno di isomorfismi.

Se $E=F(S)$ (cioè se $E$ è generato su $F$ da un insieme $S$), allora la chiusura normale di $E$ su $F$ è generata dalle radici dei polinomi minimi su $F$ degli elementi di $S$: ad esempio, la chiusura normale di $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ su $\mathbb {Q}$ è uguale a $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega {\sqrt[{3}]{2}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$, dove $\omega$ è una radice primitiva terza dell'unità.

In particolare, se $F\subseteq E$ è un'estensione finita anche la chiusura normale di $E$ su $F$ è un'estensione finita di $F$.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Normal Extension, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione normale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.