Sia
f
{\displaystyle f}
funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto[ 1]
f
(
−
n
)
(
x
)
=
∫
0
x
∫
0
σ
1
⋯
∫
0
σ
n
−
1
f
(
σ
n
)
d
σ
n
⋯
d
σ
2
d
σ
1
{\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{0}^{x}\int _{0}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{0}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})d\sigma _{n}\cdots d\sigma _{2}d\sigma _{1}}
è dato dal singolo integrale
f
(
−
n
)
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
0
x
(
x
−
y
)
n
−
1
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)dy}
La dimostrazione è data usando il principio d'induzione . Poiché
f
{\displaystyle f}
teorema fondamentale del calcolo integrale :
d
d
x
f
(
−
1
)
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}
dove
f
(
−
1
)
(
a
)
=
∫
a
a
f
(
t
)
d
t
=
0
{\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}
Ora, supposto questo vero per
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
d
d
x
[
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
]
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}
Allora, applicando l'ipotesi induttiva,
f
−
(
n
+
1
)
(
x
)
=
∫
a
x
∫
a
σ
1
⋯
∫
a
σ
n
f
(
σ
n
+
1
)
d
σ
n
+
1
⋯
d
σ
2
d
σ
1
=
∫
a
x
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
σ
1
(
σ
1
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
d
σ
1
=
∫
a
x
d
d
σ
1
[
1
n
!
∫
a
σ
1
(
σ
1
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
]
d
σ
1
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
e questo completa la dimostrazione.
Nel calcolo frazionario , questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale , permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle (n-1)!}
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n)}
funzione Gamma ). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.
^ Si noti che non si sta compiendo l'operazione
∫
0
x
d
n
d
t
n
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)dt}
(
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
)
n
{\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f(t)dt\right)^{n}}
(EN Advanced Calculus , Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2 
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be9cf4bb737607ab309e670b60cc43d491ee906)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db103058193a1e3ecb95f3184030a86de2dba63)
