Formula di Laguerre

La formula di Laguerre (prende il nome da Edmond Laguerre) esprime l'angolo acuto $\phi$ tra due rette reali proprie.

$\phi =|{\frac {i}{2}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|$

Significato dei simboli:

• $\operatorname {Log}$ è il logaritmo principale
• $\operatorname {Cr}$ è il birapporto di quattro punti allineati
• $P_{1}$ e $P_{2}$ sono i punti all'infinito delle due rette
• $I_{1}$ e $I_{2}$ sono le intersezioni del cerchio assoluto, di equazioni $x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$, con la retta congiungente $P_{1}$ e $P_{2}$.

L'espressione dentro le barre di modulo è un numero reale.

La formula di Laguerre trova applicazione in computer vision, visto che il cerchio assoluto ha un'immagine sul piano retinale che è invariante per movimenti della camera, e il birapporto di quattro punti allineati è uguale al birapporto delle loro immagini sul piano retinale.

Dimostrazione

È lecito supporre che le due rette siano per l'origine. Siccome il cerchio assoluto è invariante per isometrie, si può anche supporre che la prima retta sia l'asse x e che la seconda retta giaccia nel piano z=0. Le coordinate omogenee dei quattro punti nella formula sono rispettivamente

$(0,1,i,0),\ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0).$

Le loro coordinate non omogenee sulla retta impropria del piano z=0 sono $i$, $-i$, 0, $\pm \sin \phi /\cos \phi$. (L'eventuale scambio di $I_{1}$ e $I_{2}$ trasforma il birapporto nel suo reciproco, quindi la formula per $\phi$ dà il medesimo risultato.) Dalla formula del birapporto si ottiene

$\operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i\cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.$

Bibliografia

• O. Faugeras. Three-dimensional computer vision. MIT Press, Cambridge, London, 1999.