Formula di camminamento

La formula di camminamento consente di calcolare l'area di una qualsiasi figura piana di $n$ lati non curvi. È una formula che snellisce i tempi di calcolo di un'area di una figura avente un numero elevato di lati, evitando di utilizzare il sistema per triangolazione.

Per applicare questa formula è necessario conoscere:

• $n-1$ lati del poligono;
• $n-2$ angoli compresi tra gli $n-1$ lati noti.

Siano:

• $L_{i}$ il lato $i$-esimo del poligono, con $i=2,\ldots ,n-1;$
• $L_{j}$ il lato $j$-esimo del poligono, con $j=1,\ldots ,n-2;$
• $\alpha _{h}$ l'angolo interno $h$-esimo del poligono, con $h=j,\ldots ,n.$

La formula è

$A={1 \over 2}{\sum _{j=1}^{n-2}\left[\sum _{i=j+1}^{n-1}(-1)^{i+j+1}L_{j}\ L_{i}\sin \left(\sum _{h=j}^{i-1}\alpha _{h}\right)\right]}.$

La stessa formula può essere espressa in forma matriciale ed in particolare indicando con $k$ il numero dei lati noti ($k=n-1$), la versione matriciale compatta diviene:

$A=L_{1,k-1}^{T}\cdot \Lambda \cdot \ L_{2,k},$

dove $L_{1,k-1}^{T}$ è il vettore riga contenente i primi $k-1$ lati, ossia

$L_{1,k-1}={\begin{bmatrix}L_{1}\\\vdots \\L_{k-1}\end{bmatrix}}.$

Similmente $L_{2,k}$ è il vettore colonna le cui componenti in ordine rappresentano i lati del poligono partendo dal secondo fino al $k$-esimo, cioè

$L_{2,k}={\begin{bmatrix}L_{2}\\\vdots \\L_{k}\end{bmatrix}}.$

Infine $\Lambda$ è una matrice triangolare superiore di ordine $k-1.$ In particolare lungo la diagonale principale sono disposti in ordine i valori dei seni degli angoli noti, mentre risulteranno nulli tutti i termini al di sotto della diagonale principale. Al di sopra di quest'ultima i termini della matrice sono espressi dalla seguente relazione:

$\Lambda _{i,j}=(-1)^{i+j}\sin \left(\sum _{h=i}^{j}\alpha _{h}\right).$

Complessivamente la matrice è così definita:

$\Lambda ={\begin{bmatrix}\sin \alpha _{1}&-\sin(\alpha _{1}+\alpha _{2})&\cdots &\cdots &(-1)^{k}\sin(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{k-1})\\0&\sin \alpha _{2}&\cdots &\cdots &(-1)^{k+1}\sin(\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k-1})\\\vdots &0&\ddots &\vdots &\vdots &\\\vdots &\vdots &0&\Lambda _{i,j}&\vdots &\\0&0&0&0&\sin \alpha _{k-1}\end{bmatrix}}.$