Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.

Le formule in realtà forniscono i valori per il semi-angolo interno. Per ricavare le formule per sapere i valori trigonometrici relativi all'angolo interno basta applicare a queste le formule di duplicazione.

a,b,c = lati del triangolo p = semiperimetro

Seno	Coseno	Tangente
$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$	$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}$	$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}$
$\sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{ac}}}$	$\cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-b)}{ac}}}$	$\tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}}$
$\sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}$	$\cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}$	$\tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}$

Duplicazione delle formule di Briggs

Utilizzando la formula di duplicazione per il seno si ha:

${\begin{aligned}\sin {\alpha }&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}\\&=2{\sqrt {{\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\cdot {\frac {p(p-a)}{bc}}}}\\&={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}$

Come sappiamo dalla formula di Erone, la quantità

${\begin{aligned}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}$

non è altro che l'area del triangolo di lati $a$, $b$ e $c$. La relazione precedente può essere allora interpretata anche come dimostrazione della formula di Erone, dal momento che si ha ovviamente:

$A={\frac {bc\sin {\alpha }}{2}}$

Utilizzando la formula di duplicazione per il coseno si ha:

${\begin{aligned}\cos {\alpha }&=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\&={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}^{2}-{\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}^{2}\\&={\frac {p(p-a)}{bc}}-{\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\\\end{aligned}}$

Collegamenti esterni

• Briggs, formule di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.