In matematica , la funzione G di Meijer è una funzione introdotta da Cornelis Simon Meijer nel 1936 con il proposito di definire una funzione molto generale che potesse includere come caso particolare la maggior parte delle funzioni speciali allora note. Questo non fu l'unico tentativo in questo senso: già la funzione ipergeometrica e la funzione E di MacRobert avevano lo stesso scopo, ma la funzione di Meijer andò oltre includendo anche queste altre funzioni come caso particolare. La prima definizione di Meijer fu fatta attraverso una serie ; oggigiorno la definizione utilizzata è quella attraverso un opportuno integrale in campo complesso , ideato da Erdélyi nel 1953. Con la corrente formulazione, è possibile esprimere la maggior parte delle funzioni speciali in termini della funzione G di Meijer e della funzione Gamma .
Oltre a consentire la rappresentazione della maggior parte delle funzioni speciali, la funzione G gode di diverse proprietà, come il fatto che l'insieme di tutte le funzioni G di Meijer è chiuso rispetto alle derivazione e integrazione indefinita .
La funzione
G
{\displaystyle G}
campo complesso dal il seguente integrale:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
|
z
)
=
1
2
π
i
∫
L
∏
j
=
1
m
Γ
(
b
j
−
s
)
∏
j
=
1
n
Γ
(
1
−
a
j
+
s
)
∏
j
=
m
+
1
q
Γ
(
1
−
b
j
+
s
)
∏
j
=
n
+
1
p
Γ
(
a
j
−
s
)
z
s
d
s
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}z^{s}ds}
nel rispetto delle seguenti ipotesi:
0
≤
m
≤
q
{\displaystyle 0\leq m\leq q}
0
≤
n
≤
p
{\displaystyle 0\leq n\leq p}
p
≤
q
−
1
{\displaystyle p\leq q-1}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
nessuna coppia delle
b
k
,
(
k
=
1
,
2
,
…
,
m
)
{\displaystyle b_{k},(k=1,2,\dots ,m)}
i parametri
a
h
{\displaystyle a_{h}}
b
h
{\displaystyle b_{h}}
Γ
(
b
j
−
s
)
,
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle \Gamma (b_{j}-s),j=1,2,\dots ,m}
Γ
(
1
−
a
k
+
s
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle \Gamma (1-a_{k}+s),k=1,2,\dots ,n}
a
j
−
b
k
≠
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle a_{j}-b_{k}\neq 1,2,3,\dots }
j
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}
k
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle k=1,2,\dots ,m}
nel caso
p
=
q
{\displaystyle p=q}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
La funzione
G
{\displaystyle G}
funzione analitica di
z
{\displaystyle z}
punto di discontinuità nell'origine. Per comodità si introduce una notazione più compatta sfruttando dei vettori:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
|
z
)
=
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
La
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
−
i
∞
{\displaystyle -i\infty }
+
i
∞
{\displaystyle +i\infty }
Γ
(
b
j
−
s
)
,
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle \Gamma (b_{j}-s),j=1,2,\dots ,m}
si trovino alla destra del percorso, mentre tutti i poli di:
Γ
(
1
−
a
k
+
s
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle \Gamma (1-a_{k}+s),k=1,2,\dots ,n}
si trovino alla sinistra del percorso. Affinché l'integrale converga, è necessario che:
δ
=
m
+
n
−
1
2
(
p
+
q
)
>
0
|
arg
z
|
<
δ
π
{\displaystyle \delta =m+n-{\frac {1}{2}}(p+q)>0\qquad |\arg z|<\delta \pi }
Definendo:
ν
=
∑
j
=
1
q
b
j
−
∑
j
=
1
p
a
j
{\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}}
nel caso in cui:
|
arg
z
|
=
δ
π
δ
≥
0
{\displaystyle |\arg z|=\delta \pi \qquad \delta \geq 0}
quando
p
=
q
{\displaystyle p=q}
Re
{
ν
}
<
−
1
{\displaystyle {\mbox{Re }}\{\nu \}<-1}
p
≠
q
{\displaystyle p\neq q}
s
=
σ
+
i
τ
{\displaystyle s=\sigma +i\tau }
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
τ
→
∞
{\displaystyle \tau \to \infty }
(
q
−
p
)
σ
>
Re
{
ν
}
+
1
−
1
2
{\displaystyle (q-p)\sigma >{\mbox{Re }}\{\nu \}+1-{\frac {1}{2}}}
L
{\displaystyle L}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Γ
(
b
j
−
s
)
{\displaystyle \Gamma (b_{j}-s)}
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,2,\dots ,m}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Γ
(
1
−
a
k
+
s
)
{\displaystyle \Gamma (1-a_{k}+s)}
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,2,\dots ,n}
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
p
=
q
{\displaystyle p=q}
raggio di convergenza è unitario, ovvero
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
L
{\displaystyle L}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Γ
(
1
−
a
k
+
s
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle \Gamma (1-a_{k}+s),k=1,2,\dots ,n}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Γ
(
b
j
−
s
)
,
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle \Gamma (b_{j}-s),j=1,2,\dots ,m}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
p
≥
q
{\displaystyle p\geq q}
p
=
q
{\displaystyle p=q}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
Si dimostra che, se la funzione
G
{\displaystyle G}
L
{\displaystyle L}
G
{\displaystyle G}
funzione ipergeometrica generalizzata:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
=
∑
h
=
1
m
∏
j
=
1
m
Γ
(
b
j
−
b
h
)
∗
∏
j
=
1
n
Γ
(
1
+
b
h
−
a
j
)
z
b
h
∏
j
=
m
+
1
q
Γ
(
1
+
b
h
−
b
j
)
∏
j
=
n
+
1
p
Γ
(
a
j
−
b
h
)
×
p
F
q
−
1
(
1
+
b
h
−
a
p
(
1
+
b
h
−
b
q
)
∗
|
(
−
1
)
p
−
m
−
n
z
)
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times \;_{p}F_{q-1}\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\;(-1)^{p-m-n}z\right)}
Tale definizione è valida solo quando l'integrale calcolato lungo il percorso 2 converge, ovvero
p
<
q
{\displaystyle p<q}
p
=
q
{\displaystyle p=q}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
produttoria l'asterisco ricorda di ignorare il caso
b
j
=
b
h
{\displaystyle b_{j}=b_{h}}
1
+
b
h
−
b
q
=
(
1
+
b
h
−
b
1
)
⋯
(
1
+
b
h
−
b
i
)
⋯
(
1
+
b
h
−
b
q
)
{\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1})\cdots (1+b_{h}-b_{i})\cdots (1+b_{h}-b_{q})}
l'asterisco ricorda di ignorare il caso
b
i
=
b
h
{\displaystyle b_{i}=b_{h}}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
G
p
,
q
0
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
=
0
p
≤
q
{\displaystyle G_{p,q}^{0,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)=0\qquad p\leq q}
Da queste considerazioni si evince immediatamente come la funzione
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
p
>
q
+
1
{\displaystyle p>q+1}
modifica
In base alla sua definizione, si dimostra che la funzione
G
{\displaystyle G}
equazione differenziale :
[
(
−
1
)
m
+
n
−
p
z
∏
j
=
1
p
(
z
d
d
z
−
a
j
+
1
)
−
∏
i
=
1
q
(
z
d
d
z
−
b
i
)
]
U
(
z
)
=
0
{\displaystyle \left[(-1)^{m+n-p}z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{i=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{i}\right)\right]U(z)=0}
L'ordine dell'equazione è
max
(
p
,
q
)
{\displaystyle \max(p,q)}
modifica
La seguente proprietà della funzione
G
{\displaystyle G}
di continuità analitica , si dimostra direttamente dalla definizione:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
=
G
q
,
p
n
,
m
(
1
−
b
q
1
−
a
p
|
1
z
)
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{q,p}^{n,m}\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {1}{z}}\right)}
Grazie a tale proprietà è possibile trasformare una funzione
G
{\displaystyle G}
p
>
q
{\displaystyle p>q}
p
<
q
{\displaystyle p<q}
G
{\displaystyle G}
p
<
q
{\displaystyle p<q}
p
=
q
{\displaystyle p=q}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
Relazione tra funzione G e funzione ipergeometrica generalizzata
modifica
La funzione ipergeometrica generalizzata può sempre essere espressa in termini della funzione
G
{\displaystyle G}
p
F
q
(
a
p
b
q
|
z
)
=
Γ
(
a
p
)
Γ
(
b
q
)
G
p
,
q
+
1
1
,
p
(
1
−
a
p
0
,
1
−
b
q
|
−
z
)
{\displaystyle \;_{p}F_{q}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}{\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}}G_{p,q+1}^{1,p}\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;-z\right)}
dove si è usata la notazione compatta:
Γ
(
a
p
)
=
∏
j
=
1
p
Γ
(
a
j
)
{\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j})}
sfruttando la proprietà di continuità analitica, è possibile esprimere la stessa relazione in una forma leggermente diversa:
p
F
q
(
a
p
b
q
|
z
)
=
Γ
(
a
p
)
Γ
(
b
q
)
G
q
+
1
,
p
p
,
1
(
1
,
b
q
a
p
|
−
1
z
)
{\displaystyle \;_{p}F_{q}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}{\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}}G_{q+1,p}^{p,1}\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {-1}{z}}\right)}
entrambe le precedenti relazioni sono valide nell'ipotesi in cui la funzione
p
F
q
(
⋅
)
{\displaystyle \;_{p}F_{q}(\cdot )}
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
p
=
q
+
1
{\displaystyle p=q+1}
0
<
|
z
|
<
1
{\displaystyle 0<|z|<1}
modifica
Come si vede dalla definizione, i fattori
a
p
{\displaystyle \mathbf {a_{p}} }
b
q
{\displaystyle \mathbf {b_{q}} }
numeratore e al denominatore di una frazione; per questo motivo, se ci sono dei parametri uguali è possibile semplificarli, riducendo così l'ordine della funzione
G
{\displaystyle G}
m o n l'ordine che deve scendere, dipende dalla posizione dei fattori l'uno rispetto all'altro. In pratica, se una delle
a
h
,
h
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle a_{h},h=1,2,\dots ,n}
b
j
,
j
=
m
+
1
,
…
,
q
{\displaystyle b_{j},j=m+1,\dots ,q}
G
{\displaystyle G}
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
−
1
,
a
1
|
z
)
=
G
p
−
1
,
q
−
1
m
,
n
−
1
(
a
2
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
−
1
|
z
)
n
,
p
,
q
≥
1
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{p-1,q-1}^{m,n-1}\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n,p,q\geq 1}
dualmente, se una delle
a
h
{\displaystyle a_{h}}
h
=
n
+
1
,
…
,
p
{\displaystyle h=n+1,\dots ,p}
b
j
{\displaystyle b_{j}}
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle j=1,2,\dots ,m}
G
{\displaystyle G}
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
−
1
,
b
1
b
1
,
b
2
,
…
,
b
q
|
z
)
=
G
p
−
1
,
q
−
1
m
−
1
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
−
1
b
2
,
…
,
b
q
|
z
)
m
,
p
,
q
≥
1
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{p-1,q-1}^{m-1,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad m,p,q\geq 1}
Inoltre, sempre dalla definizione, si dimostrano le seguenti relazioni:
z
α
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
=
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
+
α
b
q
+
α
|
z
)
{\displaystyle z^{\alpha }G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\alpha \\\mathbf {b_{q}} +\alpha \end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
G
p
+
1
,
q
+
1
m
,
n
+
1
(
a
,
a
p
b
q
,
b
|
z
)
=
(
−
1
)
r
G
p
+
1
,
q
+
1
m
+
1
,
n
(
a
p
,
a
b
,
b
q
|
z
)
q
≥
m
a
−
b
=
r
{\displaystyle G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}a,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,b\end{matrix}}\;\right|\;z\right)=(-1)^{r}G_{p+1,q+1}^{m+1,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,a\\b,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad q\geq m\quad a-b=r}
dove nella seconda
r
{\displaystyle r}
d
d
z
[
z
−
b
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
]
=
−
z
−
1
−
b
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
1
+
1
,
b
2
,
…
,
b
q
|
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
d
d
z
[
z
−
b
q
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
]
=
z
−
1
−
b
q
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
1
,
…
,
b
q
−
1
,
b
q
+
1
|
z
)
m
<
q
h
=
q
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad m<q\quad h=q}
d
d
z
[
z
1
−
a
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
]
=
z
−
a
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
−
1
,
a
2
,
…
,
a
p
b
q
|
z
)
n
≥
1
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=z^{-a_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n\geq 1}
d
d
z
[
z
1
−
a
p
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
]
=
−
z
−
a
p
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
,
…
,
a
p
−
1
,
a
p
−
1
b
q
|
z
)
n
<
p
h
=
p
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=-z^{-a_{p}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n<p\quad h=p}
Da queste quattro proprietà se ne possono ricavare altre semplicemente calcolando la derivata a sinistra dell'uguale e manipolando un po'. Ad esempio:
z
d
d
z
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
=
G
p
,
q
m
,
n
(
a
1
−
1
,
a
2
,
…
,
a
p
b
q
|
z
)
+
(
a
1
−
1
)
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
n
≥
1
{\displaystyle z{\frac {d}{dz}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)=G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)+(a_{1}-1)G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n\geq 1}
ed inoltre:
z
k
d
k
d
z
k
{
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
)
}
=
G
p
+
1
,
q
+
1
m
,
n
+
1
(
0
,
a
p
b
q
,
k
|
z
)
{\displaystyle z^{k}{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}\left\{G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right\}=G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,k\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
z
k
d
k
d
z
k
{
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
1
z
)
}
=
(
−
1
)
k
G
p
+
1
,
q
+
1
m
,
n
+
1
(
1
−
k
,
a
p
b
q
,
1
|
z
)
{\displaystyle z^{k}{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}\left\{G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {1}{z}}\right)\right\}=(-1)^{k}G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}1-k,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
ovviamente molte delle proprietà della funzione ipergeometrica possono essere dedotte da queste appena enunciate.
Nell'ipotesi in cui
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
q
≥
1
0
≤
n
≤
p
≤
q
0
≤
m
≤
q
{\displaystyle q\geq 1\qquad 0\leq n\leq p\leq q\qquad 0\leq m\leq q}
è valida la seguente relazione:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
w
z
)
=
∑
k
=
0
∞
(
w
−
1
)
k
k
!
G
p
+
1
,
q
+
1
m
,
n
+
1
(
0
,
a
p
b
q
,
k
|
z
)
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;wz\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{k}}{k!}}G_{p+1,q+1}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,k\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
che si dimostra sfruttando le precedenti formule di derivazione. Tale teorema è una generalizzazione di teoremi simili esistenti per le funzioni di Bessel, la funzione ipergeometrica e quelle confluenti.
Integrali che coinvolgono la funzione G
modifica
È valida la seguente formula di integrazione per la funzione
G
{\displaystyle G}
∫
0
∞
z
s
−
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
η
z
)
d
z
=
η
−
s
∏
j
=
1
m
Γ
(
b
j
+
s
)
∏
j
=
1
n
Γ
(
1
−
a
j
−
s
)
∏
j
=
m
+
1
q
Γ
(
1
−
b
j
−
s
)
∏
j
=
n
+
1
p
Γ
(
a
j
+
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }z^{s-1}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;\eta z\right)dz={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}}
Tale relazione integrale è valida nell'ipotesi
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
p
>
q
{\displaystyle p>q}
G
{\displaystyle G}
∫
0
∞
z
s
−
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
η
z
)
d
z
=
∫
0
∞
z
s
−
1
G
q
,
p
n
,
m
(
1
−
b
q
1
−
a
p
|
1
η
y
)
d
y
=
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }z^{s-1}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;\eta z\right)dz=\int _{0}^{\infty }z^{s-1}G_{q,p}^{n,m}\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {1}{\eta y}}\right)dy=}
=
∫
0
∞
x
−
s
−
1
G
q
,
p
n
,
m
(
1
−
b
q
1
−
a
p
|
x
η
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }x^{-s-1}G_{q,p}^{n,m}\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {x}{\eta }}\right)dx}
Un'altra notevole proprietà integrale è quella che permette di rappresentare l'integrale del prodotto tra due funzioni
G
{\displaystyle G}
∫
0
∞
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
η
x
)
G
σ
,
τ
μ
,
ν
(
c
σ
d
τ
|
ω
x
)
d
x
=
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\mu ,\nu }\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\;\omega x\right)dx=}
=
1
η
G
q
+
σ
,
p
+
τ
n
+
μ
,
m
+
ν
(
−
b
1
,
…
,
−
b
m
,
c
σ
,
−
b
m
+
1
,
…
,
−
b
q
−
a
1
,
…
,
−
a
n
,
d
τ
,
−
a
n
+
1
,
…
,
−
a
p
|
ω
η
)
=
{\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}G_{q+\sigma ,p+\tau }^{n+\mu ,m+\nu }\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}
=
G
p
+
τ
,
q
+
σ
m
+
ν
,
n
+
μ
(
a
1
,
…
,
a
n
,
−
d
τ
,
a
n
+
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
m
,
−
c
σ
,
b
m
+
1
,
…
,
b
q
|
ω
η
)
{\displaystyle =G_{p+\tau ,q+\sigma }^{m+\nu ,n+\mu }\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {\omega }{\eta }}\right)}
Utilizzando tutte le proprietà indicate fino ad ora è possibile dimostrare la seguente relazione:
∫
0
∞
e
−
ω
y
y
−
α
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
z
y
)
d
y
=
ω
α
−
1
G
p
+
1
,
q
m
,
n
+
1
(
α
,
a
p
b
q
|
z
ω
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega y}y^{-\alpha }G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;zy\right)dy=\omega ^{\alpha -1}G_{p+1,q}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {z}{\omega }}\right)}
questa è una formula leggermente più generale per la trasformata di Laplace . In particolare, per ottenere la trasformata di Laplace canonica basta porre
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
La trasformata generalizzata di Laplace inversa è:
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
y
ω
)
z
−
α
G
p
,
q
+
1
m
,
n
+
1
(
a
p
b
q
,
α
|
z
y
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
e
ω
z
ω
α
−
1
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
y
ω
)
d
ω
{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {y}{\omega }}\right)z^{-\alpha }G_{p,q+1}^{m,n+1}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\;zy\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega z}\omega ^{\alpha -1}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {y}{\omega }}\right)d\omega }
dove
c
{\displaystyle c}
z
{\displaystyle z}
z
,
y
≠
0
{\displaystyle z,y\neq 0}
Si può dimostrare anche la seguente relazione, che rappresenta un'altra trasformata di Laplace che riguarda la funzione
G
{\displaystyle G}
∫
0
∞
e
−
β
x
G
p
,
q
m
,
n
(
a
p
b
q
|
α
x
2
)
=
π
β
G
p
+
2
,
q
m
,
n
+
2
(
0
,
1
2
,
a
p
b
q
|
4
α
β
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;\alpha x^{2}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{\beta }}G_{p+2,q}^{m,n+2}\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;{\frac {4\alpha }{\beta ^{2}}}\right)}
In generale, due funzione
k
(
z
,
y
)
{\displaystyle k(z,y)}
h
(
z
,
y
)
{\displaystyle h(z,y)}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
g
(
z
)
=
∫
0
∞
k
(
z
,
y
)
f
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)f(y)dy,}
f
(
z
)
=
∫
0
∞
h
(
z
,
y
)
g
(
y
)
d
y
{\displaystyle f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)g(y)dy}
sono verificate contemporaneamente. I due nuclei sono anche simmetrici se
k
(
z
,
y
)
=
h
(
z
,
y
)
{\displaystyle k(z,y)=h(z,y)}
Narayana Pandit ha dimostrato (1962, 1963) che le funzioni:
k
(
z
,
y
)
=
2
γ
z
ν
−
1
/
2
G
p
+
q
,
m
+
n
m
,
p
(
a
p
,
b
q
c
m
,
d
n
|
z
2
γ
)
{\displaystyle k(z,y)=2\gamma z^{\nu -1/2}G_{p+q,m+n}^{m,p}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\;z^{2\gamma }\right)}
h
(
z
,
y
)
=
2
γ
z
ν
−
1
/
2
G
p
+
q
,
m
+
n
n
,
q
(
−
b
q
,
−
a
p
d
n
,
c
m
|
z
2
γ
)
{\displaystyle h(z,y)=2\gamma z^{\nu -1/2}G_{p+q,m+n}^{n,q}\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {d_{n}} ,\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\;z^{2\gamma }\right)}
sono in generale due kernel asimmetrici. Nel caso particolare in cui
p
=
q
{\displaystyle p=q}
m
=
n
{\displaystyle m=n}
a
j
+
b
j
=
0
{\displaystyle a_{j}+b_{j}=0}
j
=
1
,
2
,
…
,
p
{\displaystyle j=1,2,\dots ,p}
b
h
+
d
h
=
0
{\displaystyle b_{h}+d_{h}=0}
h
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle h=1,2,\dots ,m}
Jet Wimp nel 1964 ha dimostrato che le seguenti due funzioni sono nuclei di trasformazione asimmetrici:
k
(
z
,
y
)
=
G
p
+
2
,
q
m
,
n
+
2
(
1
−
ν
+
i
z
,
1
−
ν
−
i
z
,
a
p
b
q
|
y
)
{\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,q}^{m,n+2}\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right)}
h
(
z
,
y
)
=
i
π
y
e
−
ν
π
i
[
e
π
y
A
(
z
e
i
π
|
ν
+
i
y
,
ν
−
i
y
)
−
e
−
π
y
A
(
ν
−
i
y
,
ν
+
i
y
|
z
e
i
π
)
]
{\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(ze^{i\pi }|\nu +iy,\nu -iy)-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy|ze^{i\pi })\right]}
dove la funzione
A
(
⋅
)
{\displaystyle A(\cdot )}
A
(
α
,
β
|
z
)
=
G
p
+
2
,
q
q
−
m
,
p
−
n
+
1
(
−
a
n
+
1
,
−
a
n
+
2
,
…
,
−
a
p
,
α
,
−
a
1
,
−
a
2
,
…
,
−
a
n
,
β
−
b
m
+
1
,
−
b
m
+
2
,
…
,
−
b
p
,
−
b
1
,
−
b
2
,
…
,
−
b
m
|
z
)
{\displaystyle A(\alpha ,\beta |z)=G_{p+2,q}^{q-m,p-n+1}\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{p},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}
Relazioni tra la funzione G ed altre funzioni elementari
modifica
La seguente lista mostra come sia possibile esprimere molte funzioni in termini della funzione
G
{\displaystyle G}
e
x
=
G
0
,
1
1
,
0
(
−
0
|
−
x
)
∀
x
{\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\;-x\right)\qquad \forall x}
cos
x
=
1
π
G
0
,
2
1
,
0
(
−
0
,
1
/
2
|
x
2
4
)
∀
x
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}G_{0,2}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,1/2\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {x^{2}}{4}}\right)\qquad \forall x}
sin
x
=
2
π
G
0
,
2
1
,
0
(
−
0
,
−
1
/
2
|
x
2
4
)
x
≥
0
{\displaystyle \sin x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}G_{0,2}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,-1/2\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {x^{2}}{4}}\right)\qquad x\geq 0}
cosh
x
=
1
π
G
0
,
2
1
,
0
(
−
0
,
1
/
2
|
−
x
2
4
)
∀
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}G_{0,2}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,1/2\end{matrix}}\;\right|\;-{\frac {x^{2}}{4}}\right)\qquad \forall x}
sinh
x
=
2
π
G
0
,
2
1
,
0
(
−
0
,
−
1
/
2
|
−
x
2
4
)
x
≥
0
{\displaystyle \sinh x={\frac {2}{\pi }}G_{0,2}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,-1/2\end{matrix}}\;\right|\;-{\frac {x^{2}}{4}}\right)\qquad x\geq 0}
arcsin
x
=
2
π
G
2
,
2
1
,
2
(
3
/
2
,
3
/
2
1
,
1
/
2
|
−
x
2
)
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arcsin x=2{\sqrt {\pi }}G_{2,2}^{1,2}\left(\left.{\begin{matrix}3/2,3/2\\1,1/2\end{matrix}}\;\right|\;-x^{2}\right)\qquad |x|<1}
arctan
x
=
2
G
2
,
2
1
,
2
(
3
/
2
,
1
1
,
1
/
2
|
x
2
)
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arctan x=2G_{2,2}^{1,2}\left(\left.{\begin{matrix}3/2,1\\1,1/2\end{matrix}}\;\right|\;x^{2}\right)\qquad |x|<1}
ln
(
1
+
x
)
=
G
2
,
2
1
,
0
(
1
,
1
1
,
0
|
x
)
|
x
|
<
1
{\displaystyle \ln(1+x)=G_{2,2}^{1,0}\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\;x\right)\qquad |x|<1}
J
α
(
x
)
=
G
0
,
4
2
,
0
(
−
α
4
,
α
+
2
4
,
−
α
4
,
−
α
+
2
4
|
x
4
256
)
∀
x
{\displaystyle J_{\alpha }(x)=G_{0,4}^{2,0}\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\alpha }{4}},{\frac {\alpha +2}{4}},{\frac {-\alpha }{4}},{\frac {-\alpha +2}{4}}\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {x^{4}}{256}}\right)\qquad \forall x}
Y
α
(
x
)
=
G
1
,
3
2
,
0
(
−
α
−
1
2
α
/
2
,
−
α
/
2
,
−
α
−
1
2
|
x
2
2
)
∀
x
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)=G_{1,3}^{2,0}\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\alpha -1}{2}}\\\alpha /2,-\alpha /2,{\frac {-\alpha -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\;{\frac {x^{2}}{2}}\right)\qquad \forall x}
Le ultime due funzioni sono le funzioni di Bessel di primo e secondo tipo.
(EN The Special Functions and Their Approximations, Volume I . New York: Academic Press
(EN Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians . New York: MacMillan 
![{\displaystyle \left[(-1)^{m+n-p}z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{i=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{i}\right)\right]U(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1255fe33f3d643955f37a5ba6c792d8aab08de)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ea797059b8984f52dc168587f676dc4cf2b93e)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad m<q\quad h=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49795bdffae4fa9a5414667e8ed3dbbfb91d4fa)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=z^{-a_{1}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d521e4912b7d5a9181a80cc01419a81f2a88e528)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\right]=-z^{-a_{p}}G_{p,q}^{m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;z\right)\qquad n<p\quad h=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d17d2998755ce12e1ce6cffd8d20a086eae17b4)
![{\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(ze^{i\pi }|\nu +iy,\nu -iy)-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy|ze^{i\pi })\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a254e3a98c8c4d98feb64eed27aa39175eb99295)
