Funzione di Cantor

In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente con derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di $[0,1]$ che non contengono punti dell'insieme di Cantor.

Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a $1$.

La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.

Definizione

Con le basi

La funzione di Cantor $f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$ è definita nel modo seguente:

1. Scriviamo ogni numero $x\in [0,1]$ in base tre. Con questa notazione: $1/3=0,1_{3},$ e $2/3=0,2_{3}$. Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio $1/3=0,0222\ldots _{3}$ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti $0,1=0,09999\ldots$). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra $1$.
2. Sostituiamo la prima occorrenza della cifra $1$ con un $2$ e tutte le cifre successive con $0$.
3. Sostituiamo tutte le cifre $2$ con $1$.
4. Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è $f(x)$.

Ad esempio:

• $1/4=0,02020202\ldots _{3}\mapsto 0,01010101_{2}=1/3$. Quindi $f(1/4)=1/3$.
• $1/5=0,01210121\ldots _{3}$, al passo 2 diventa $0,02000000\ldots$, quindi $0,01000000\ldots _{2}=1/4$. Quindi $f(1/5)=1/4$.

Come limite di una successione

La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in $[0,1]$, costruite in questo modo:

• Sia $f_{0}(x)=x$.
• Sia $f_{n}(x)$ una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente $2^{n+1}-1$ lati: $2^{n}$ lati sono obliqui di coefficiente angolare $(3/2)^{n}$ e $2^{n}-1$ lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza $\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}$. Per ogni $n$ intero non negativo risulta $f_{n}(0)=0$ e $f_{n}(1)=1$. In figura sono disegnate $f_{0}$, $f_{1}$ e $f_{2}$.

Le prime tre funzioni della successione

Si può "costruire" la $(n+1)$-esima poligonale $f_{n+1}$ come una trasformazione della $f_{n}$: infatti, dette $I_{k}^{(n)},$ per $k=1,\ldots ,2^{n},$ e $J_{k}^{(n)},$ per $k=1,\ldots ,2^{n}-1,$ le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è $f(J_{k}^{(n)})=k/2^{n}$), allora è $f_{n+1}=f_{n}$ in $J_{k}^{(n)}$ per ogni $k$, mentre ogni lato obliquo di $f_{n}$ (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo $I_{k}^{(n)}$) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli $I_{2k-1}^{(n+1)}$ e $I_{2k}^{(n+1)}$, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo $J_{2k-1}^{(n+1)}$.

Si può dimostrare che risulta:

$\sup _{p\in \mathbb {N} \ }\left\{\max _{x\in [0,1]}\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\right\}\leq {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}.$

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in $[0,1]$. Dunque per $n\to \infty$ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.

Proprietà

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo $[0,1]$ in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di $[0,1]$ che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo (0,x₁x₂x₃...x_n022222..., 0,x₁x₂x₃...x_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo $[0,1]$: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.

Voci correlate

• Insieme di Cantor
• Variabile casuale di Cantor
• Curva di Peano
• Curva di Koch

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cantor Function, su MathWorld, Wolfram Research.