Funzione subadditiva

In matematica, una funzione subadditiva è una funzione $f:A\to B$, con dominio $A$ e codominio $B$ chiusi rispetto all'addizione tale che valga la seguente proprietà:

$\forall x,y\in A,\quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)\,\!.$

La definizione può essere data in generale per $A$ e $B$ semigruppi, con l'ipotesi che $B$ sia un insieme ordinato.

Un esempio è la funzione radice quadrata, con dominio e codominio i numeri reali non negativi, infatti $\forall x,y\geq 0$ vale:

${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$

Una successione $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$ è detta subadditiva se soddisfa la disuguaglianza

$a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$

per ogni $m$ e $n$. L'importanza delle sequenze subadditive è data dal seguente lemma dovuto a Michael Fekete.

Lemma: Per ogni successione subadditiva ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$, il limite $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$   esiste ed è uguale a   $\inf {\frac {a_{n}}{n}}\,\!.$   (Il limite può essere $-\infty \,\!.$)

Voci correlate

• Disuguaglianza triangolare