Funzioni di Bourget-Giuliani

Le funzioni di Bourget-Giuliani furono introdotte nel 1861 dal matematico francese Bourget, in relazione ai problemi di astronomia. Sono definite dall'integrale:

$J_{n,k}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta )^{k}\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$ dove $n\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {N}$.

Per $k=0$, le funzioni di Bourget-Giuliani si riducono alle funzioni di Bessel:

$J_{n,0}(z)=J_{n}(z)$.

Nel 1888, il matematico italiano Giuliani dimostrò che le funzioni di Bourget-Guiliani sono soluzione dell'equazione differenziale del quarto ordine:

$z^{2}{\frac {d^{4}}{dz^{4}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d^{3}}{dz^{3}}}J_{n,k}(z)+[2z^{2}+(k+2)^{2}-n^{2}]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d}{dz}}J_{n,k}(z)+(z^{2}+k+2-n^{2})J_{n,k}(z)=0$

La trasformata di Laplace delle funzioni di Bourget-Giuliani fu ottenuta nel 1935 dal matematico francese Humbert. Nel 1938, il matematico americano J. Rosen ha definito le funzioni di Bourget-Guiliani per ogni $n,k\in \mathbb {R}$ a partire dall'equazione di Giuliani.

Bibliografia

• (FR) J. Bourget Mémoire sur les nombres de Cauchy J. Math. Pures App. 6 p. 33 (1861)
• G. Giuliani Alcune osservazioni sopra le funzioni sferiche di ordine superiore al seconde e sopra altre funzioni che se ne possono dedurre, Giornale di Mat. (Battaglini) 26 p. 155 (1888).
• (EN) G. N. Watson The Theory of Bessel functions ch. 10, p. 326 (Cambridge University Press, 1922)
• (EN) P. Humbert Some new operational representations Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 4, p. 232 (1935)
• (FR) N. W. Mc Lachlan e P. Humbert Formulaire pour le calcul symbolique coll. Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 100, p. 31 (Gauthier-Villars, Parigi, 1950)
• (EN) J. Rosen Some Generalizations of Bessel Functions Tohoku Math. J. 45, p. 229 (1939)

Collegamenti esterni

• (EN) Bourget Functions su MathWorld