Generatore di Fibonacci ritardato

Un generatore di Fibonacci ritardato (LFG, dall'inglese Lagged Fibonacci Generator) è un algoritmo per la generazione di numeri pseudo-casuali basato su una generalizzazione della successione di Fibonacci. Dalla definizione della successione di Fibonacci:

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}

Similmente, il generatore è definito come

F_{n}=F_{n-j}\star F_{n-k}{\pmod {m}},\quad 0<j<k\,

dove

$F_{n}$ è l' $n$ -esimo termine della successione di numeri generati
$F_{n-j}$ e $F_{n-k}$ sono due qualunque termini precedenti della successione
$\star$ è una qualsiasi operazione binaria. Può essere addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, ma anche un operatore logico
$\mod m$ indica il resto della divisione tra $(F_{n-j}\star F_{n-k})$ e $(m)$

Se l'operatore usato è l'addizione, il generatore sarà di tipo additivo, se l'operatore è la moltiplicazione si avrà un generatore di Fibonacci ritardato di tipo moltiplicativo.

Proprietà

Come tutti i generatori di numeri pseudo-casuali, il generatore di Fibonacci ritardato è una funzione periodica. Il periodo massimo varia a seconda dell'operatore usato. Nel caso di somma o sottrazione, il generatore ha periodo $p$ tale che

p\leq (2^{k}-1)\cdot 2^{m-1}

In caso di moltiplicazione invece

p\leq (2^{k}-1)\cdot 2^{m-3}

Da notare che il periodo della moltiplicazione è un quarto di quello della somma.

Come dimostrato di seguito, l'operatore addizione genera una sequenza numerica con periodo molto maggiore dell'operatore moltiplicazione.

dimostriamo che

(2^{k}-1)\cdot 2^{m-1}=4\cdot \left[(2^{k}-1)\cdot 2^{m-3}\right]\,

dividendo entrambi i membri per una stessa quantità

{\frac {(2^{k}-1)\cdot 2^{m-1}}{2^{m-1}}}={\frac {4\cdot \left[(2^{k}-1)\cdot 2^{m-3}\right]}{2^{m-1}}}\,

Nel primo membro si semplifica, nel secondo si divide $2^{m-3}$ per $2^{m-1}$ , ricordando che per le potenze vale che ${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$