Idempotenza

In informatica, in matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà delle funzioni per la quale applicando molteplici volte una funzione data, il risultato ottenuto è uguale a quello derivante dall'applicazione della funzione un'unica volta.

In particolare può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di un'operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).

Definizione

Un'operazione unaria idempotente entro un certo insieme $S$ è una funzione del tipo:

$T:S\rightarrow S|\forall x\in S~:~T(T(x))=T(x)\quad \mathrm {ovvero} \quad T\circ T=T$

Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è un'unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale $V$ sono i proiettori sopra i sottospazi di $V$.

Un'operazione binaria idempotente entro un certo insieme $S$ è una funzione del tipo:

$~*:S\times S\rightarrow S|\forall x\in S~:~x*x=x$

Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o estremo superiore (sup) e di incontro o estremo inferiore (inf) di un reticolo o di un semireticolo.

Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.

Se $(S,*,\dots )$ è una struttura algebrica avente $S$ come insieme sostegno e $*$ operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni $e\in S$ tale che $e*e=e$. In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo $K$ sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a $1$ o $0$ (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto $1$ e $0$. Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza.

Idempotenza in informatica

Il termine idempotenza viene usato in accezioni corrispondenti a quella matematica riportata qui sopra, applicato a "funzioni" in senso informatico (ovvero subroutine che producono un valore di ritorno). Lo stesso termine viene usato anche in senso più lato per riferirsi a funzioni prive di effetti collaterali. In questo senso, una funzione è idempotente se non vi è alcuna differenza osservabile fra l'effetto di una singola attivazione della funzione e di N sue attivazioni consecutive effettuate con input identico.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Nilpotenza
• Involuzione

Collegamenti esterni

• idempotènza, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• idempotènza, su sapere.it, De Agostini.
• idempotenza, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Idempotenza, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Idempotenza, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.