Incidenza (geometria)

In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota.

In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri.

Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti.

La sezione di una figura piana rispetto a una retta o di una figura solida rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza.

Esempi d'incidenza nel piano

Punto d'intersezione tra due rette complanari

È un punto $Q$, che è comune a due rette $r$ ed $s$, appartenenti entrambe allo stesso piano $\pi$. In simboli:

$\exists r,s\in \pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q.$

Il punto $Q$ prende il nome di punto proprio. Nel caso in cui $\pi$ sia il piano cartesiano, chiamiamolo $\Pi$, possiamo riscrivere il tutto:

$\exists r,s\in \Pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q\in \mathbb {R} ^{2};$

dove con $\mathbb {R} ^{2}$ si intende il prodotto cartesiano tra $\mathbb {R}$ ed $\mathbb {R}$. Con ques'ultima notazione non facciamo altro che dire che $Q$ fa parte del piano cartesiano e che viene individuato da una coppia di numeri $(x,y)\in \Pi$, ossia le sue coordinate.

Nel caso in cui $r\parallel s$, $Q$ prende il nome di punto improprio.

Esempio:

Date le due rette di equazione ${\textstyle r:y=x+1}$ e $s:y=-2x-2$, per trovare il punto d'intersezione è sufficiente risolvere il sistema:

${\begin{cases}y=x+1\\y=-2x-2\end{cases}}$

Risulterà quindi che il punto d'intersezione sarà $Q=(-1,0)$.

La complanarità tra due rette assegnate $r$ ed $s$, disposte nello spazio, può essere verificata solo quando si eseguono almeno due proiezioni, sia centrali sia parallele, di tali rette $r$ e $s$. Per esempio, nel metodo di Monge (che fa parte della categoria delle proiezioni parallele), la complanarità può essere verificata quando le proiezioni ortogonali del punto d'intersezione tra le dette rette $r$ ed $s$ appartengono a una stessa retta di richiamo.

Esempi d'incidenza nello spazio

Retta d'intersezione tra due piani

La retta d'intersezione tra due piani $\alpha$ e $\beta$ può essere individuata determinando due punti $P$ e $Q$ comuni a tali piani. Nel caso in cui tali piani $\alpha$ e $\beta$ sono tra loro paralleli si ha che tali punti $P$ e $Q$ sono entrambi impropri.

Applicazione

La determinazione di una retta $u$ comune a due assegnati piani $\alpha$ e $\beta$, consiste nel eseguire, in ordine, le seguenti operazioni:

• Determinare un primo punto $P$ comune ad $\alpha$ e $\beta$:
  • Si assume un piano ausiliario $\gamma$. Tra gli infiniti piani ausiliari che si possono assumere, spesso per la facilita d'uso, si sceglie quello che ha giacitura verticale.
  • Si determinano $r$ e $s$, rispettivamente: come rette d'intersezione tra il piano ausiliario $\gamma$ con $\alpha$ e $\beta$.
  • Infine si individua il punto cercato $P$, come intersezione tra le rette determinate $r$ e $s$.
• Si ripetono le operazioni precedenti per determinare un secondo punto $Q$, anch'esso comune ai piani assegnati $\alpha$ e $\beta$. A tale fine e per facilitare tali operazioni, è preferibile assumere un secondo piano ausiliario delta che sia parallelo a $\gamma$. In questo modo delta seziona i piani $\alpha$ e $\beta$ secondo due rette paralleli a $r$ e $s$.

Punto d'intersezione di una retta con un piano

Dati una retta e un piano $\alpha$ non passante per $r$ (vedi figura). Il punto d'intersezione $S$ tra gli elementi dati, il quale può essere improprio quando $r$ risulta parallela ad $\alpha$, altrimenti proprio, quando $r$ è inclinata rispetto ad $\alpha$. Per determinare tale punto $S$, si procede come di seguito:

• si fa passare per $r$ un piano ausiliario $\beta$;
• si determina una retta $s$ come intersezione tra i piani $\alpha$ e $\beta$;
• si individua, in ultimo, il punto cercato $S$ come intersezione tra la rette $r$ e $s$.

Si tiene presente che nel caso in cui risulta che tali rette $r$ e $s$ sono tra loro paralleli, significa che $r$ è parallela al piano $\alpha$.

Incidenza di una retta r con una superficie proiettiva

Incidenza di r con un cilindro

Date le proiezioni ortogonali di un cilindro $K$ e di una retta $r$, in cui è stabilito che $K$ ha base circolare appartenente al primo piano di proiezione $\pi _{1}$ e asse inclinato rispetto a tale piano, si vuole determinare eventuali punti d'incidenza di $r$ con $K$.

Il concetto d'intersezione di una retta $r$ con cilindro $K$ si basa sul fatto che i piani che passano per il vertice di $K$ ( cioè parallele al suo asse) lo sezionano seconda due generatrici (in questo caso sono due rette), e poiché un punto improprio (vertice del cilindro) e la retta data $r$ individuano un solo piano $\alpha$, per cui, è sufficiente individuare tale piano $\alpha$ per risolvere il problema in questione. Per inciso:

• La prima traccia di $\alpha$ si individua unendo la prima traccia di $r$ con la prima traccia di un'altra retta $s$ complanare a $r$ e parallele all'asse del cilindro $K$.
• Dove la prima traccia di $\alpha$ interseca la base inferiore di $k$, passano le due generatrici, $m$ e $n$, d'intersezione tra $\alpha$ e $K$.
• In ultimo, i punti d'incidenza di $r$ con $K$, si individuano come intersezione delle dette generatrici $m$ e $n$ con $r$.

Nota importante: con procedimento analogo, come sopra, è possibile determinare l'intersezione di una retta con qualsiasi tipo di superficie proiettiva, come le superfici coniche, le piramidi, i prismi.

Voci correlate

• Insieme
• intersezione (insiemistica)
• Punto improprio
• Spazio euclideo
• Sezione (geometria descrittiva)
• Teorema delle intersezioni dimensionali

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Incidenza, su MathWorld, Wolfram Research.