Integrale di Grassman

In fisica matematica, un integrale di Grassman (o un integrale di Berezin) è un modo per definire l'integrazione per funzioni di variabili di Grassmann. Esso non è un integrale nel senso di Lebesgue: si chiama integrazione, perché ha proprietà analoghe e dato che è usato in fisica come una somma "sul cammino" di fermioni, come un'estensione dell'integrazione sul cammino. La tecnica è stata inventata dal fisico David John Candlin nel 1956^[1], ma a volte prende il nome dal matematico russo Felix Berezin, che l'ha incluso in un trattato nel suo libro di testo^[2].

Definizione

L'integrale di Berezin è definito come un funzionale lineare, ovvero^[3]:

\int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta

dove noi definiamo:

\int \theta \,d\theta =1

;

\int \,d\theta =0

;

così che:

\int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.

Queste proprietà definiscono l'integrale in modo univoco.

\int (a\theta +b)\,d\theta =a.

Questa è la funzione più generale, perché ogni funzione omogenea di una variabile Grassmann è costante o è lineare.

Numero di Grassmann

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità $\theta _{i}$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari $x_{j}$ ,

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

\theta _{i}\theta _{i}=0.

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}

\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}

\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2ⁿ × 2ⁿ matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti", oltre a definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

Note

^ D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966)

Bibliografia

Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.

(EN) Introducing supersymmetry^{[collegamento interrotto]}, M. F. Sohnius, 1985.

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[1] D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.

[2] A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)

[3] A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966)

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