Interpretazione (logica)

Un'interpretazione è l'assegnazione di un significato ai simboli di un linguaggio formale. Molti linguaggi formali usati in matematica, logica e informatica teorica sono definiti esclusivamente in termini sintattici e come tali non hanno alcun significato fino a quando non vengono interpretati. Lo studio generale delle interpretazioni dei linguaggi formali è chiamato semantica formale.

Le logiche formali più comunemente studiate sono la logica proposizionale, la logica dei predicati (e i loro analoghi modali), per le quali esistono modi standard di attribuire un'interpretazione. In questi contesti l'interpretazione è una funzione che fornisce l'estensione di simboli e stringhe di simboli di un linguaggio in oggetto. Ad esempio, una funzione di interpretazione potrebbe prendere il predicato A (per "alto") e assegnargli l'estensione { a } (per "Alice"). Si noti che tutto ciò che questa interpretazione fa è assegnare l'estensione {a} alla costante non logica A, e non afferma che A stia per "alto" e a per Alice.

Un'interpretazione spesso (ma non sempre) fornisce un modo per determinare i valori di verità delle formule in un linguaggio. Se una data interpretazione assegna il valore "vero" a una proposizione o teoria, l'interpretazione è chiamata modello di quella proposizione o teoria.

Il concetto di interpretazione è fondamentale per definire la soddisfacibilità di una formula, ovvero l'esistenza di almeno un modello per la stessa.^[1]

Linguaggi formali

Un linguaggio formale consiste in un insieme possibilmente infinito di proposizioni costruito da un insieme fisso di lettere o simboli. L'inventario da cui vengono prese queste lettere è chiamato alfabeto su cui è definita la lingua.^[1] Per distinguere le stringhe di simboli che appartengono ad un linguaggio formale da stringhe arbitrarie di simboli, le prime sono talvolta chiamate formule ben formate (FBF).^[1] La caratteristica essenziale di un linguaggio formale è che la sua sintassi può essere definita senza riferimento all'interpretazione. Ad esempio, possiamo determinare che $(P\ or\ Q)$ è una formula ben formata anche senza sapere se è vera o falsa.

Esempio

Un linguaggio formale ${\mathcal {W}}$ può essere definito con l'alfabeto $\alpha =\{\triangle ,\square \}$ e con una parola (detta appartenente a ${\mathcal {W}}$ ) se essa inizia con $\triangle$ ed è composta esclusivamente dai simboli contenuti in $\alpha$ ( $\triangle$ e $\square$ ).

Una possibile interpretazione di ${\mathcal {W}}$ potrebbe assegnare la cifra decimale "1" a $\triangle$ e da "0" a $\square$ . Poi $\triangle \square \triangle$ denoterebbe 101 sotto questa interpretazione di ${\mathcal {W}}$ .

Costanti logiche

Nei casi specifici di logica proposizionale e logica dei predicati, i linguaggi formali considerati hanno alfabeti che si dividono in due insiemi: i simboli logici (costanti logiche) e i simboli non logici. L'idea alla base di questa terminologia è che i simboli logici hanno lo stesso significato indipendentemente dal campo di studio, mentre i simboli non logici possono assumere significati diversi in base all'argomento trattato.

Le costanti logiche includono simboli quantificatori ∀ (universale) e ∃ (esistenziale), simboli per connettivi logici ∧ ("e"), ∨ ("o"), ¬ ("non"), parentesi e altri simboli di raggruppamento, e (in alcuni acsi) il simbolo di uguaglianza =.

Semantica dei connettivi logici

La funzione di interpretazione risulta utile, ad esempio, per definire la semantica degli operatori logici. In questo contesto, l'interpretazione di un simbolo è una funzione che, dato un certo simbolo, ritorna un valore "vero" o "falso".

Ecco come definiamo i connettivi logici nella logica proposizionale:

¬Φ è vero se e solo se Φ è falso.
(Φ ∧ Ψ) è vero se e solo se Φ è vero e Ψ è vero.
(Φ ∨ Ψ) è vero se e solo se Φ è vero o Ψ è vero (o entrambi sono veri).
(Φ → Ψ) è vero se e solo se Φ è falso o Ψ è vero (o entrambi sono veri).
(Φ ↔ Ψ) è vero se e solo se (Φ → Ψ) è vero e (Ψ → Φ) è vero.

Quindi, data una certa interpretazione delle lettere Φ e Ψ (cioè, dopo aver assegnato un valore di verità a ciascuna lettera della proposizione), possiamo determinare i valori di verità di tutte le formule contenenti le due lettere, in funzione dei connettivi logici utilizzati. Nella tabella seguente, la seconda e la terza colonna mostrano i valori di verità delle lettere (con tutte e quattro le possibili interpretazioni). Le altre colonne mostrano i valori di verità delle formule costruite con queste lettere.

Connettivi logici
Interpretazione	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
# 1	T	T	F	T	T	T	T
# 2	T	F	F	F	T	F	F
# 3	F	T	T	F	T	T	F
# 4	F	F	T	F	F	T	T

Ora risulta più semplice controllare cosa rende una formula logicamente valida. Prendamo la formula $F:\Phi \lor \neg \Phi$ . Se la nostra funzione di interpretazione rende Φ vero, allora ¬Φ è reso falso dal connettivo di negazione. Poiché la disgiunzione Φ di F è vera sotto quell'interpretazione, F è vera. Ora l'unica altra interpretazione possibile di Φ lo rende falso, e in tal caso ¬Φ è reso vero dalla funzione di negazione. Ciò renderebbe F nuovamente vera, poiché uno dei simboli di F, ¬Φ, sarebbe vero sotto questa interpretazione. Poiché queste due interpretazioni per F sono le uniche interpretazioni logiche possibili, e poiché F risulta vera per entrambe, diciamo che è logicamente valida o tautologica.

Logica proposizionale

Un linguaggio formale nella logica proposizionale consiste di formule costruite a partire da simboli proposizionali (o variabili proposizionali) e connettivi logici. Gli unici simboli "non logici" in un linguaggio formale sono le variabili proposizionali, che sono spesso indicate con lettere maiuscole.

In questo contesto, l'interpretazione è solitamente effettuata mediante una funzione che mappa ogni simbolo proposizionale ad un valore di verità vero o falso. Questa funzione viene anche detta funzione di valutazione.^[1]^[2]

Per un linguaggio con n variabili proposizionali distinti esistono $2^{n}$ possibili interpretazioni distinte. Per ogni variabile a in particolare, ad esempio, ci sono $2^{1}=2$ possibili interpretazioni: possiamo infatti assegnare ad a il valore T (vero) o F (falso). Per la coppia di variabili $\langle a,b\rangle$ esistono $2^{2}=4$ possibili interpretazioni: 1) assegniamo ad entrambe il valore T, 2) assegniamo ad entrambe il valore F, 3) assegniamo T ad a e F a b, or 4) assegniamo F ad a e T a b. E così via.

Logica del primo ordine

Per conferire un significato ad un certo linguaggio del primo ordine, dato un certo dominio $D$ (generalmente richiesto essere non vuoto), facciamo uso delle seguenti interpretazioni:^[3]

interpretazione dei simboli costanti: ad ogni simbolo costante si associa un elemento $c^{\mathcal {I}}\in D$ ;
interpretazione dei simboli di funzione: ad ogni simbolo di funzione n-ario si associa una funzione $f^{\mathcal {I}}:D^{n}\rightarrow D$ ;
interpretazione dei simboli di predicato: ad ogni simbolo di predicato n-ario si associa una relazione $R^{\mathcal {I}}\subseteq D^{n}$ .

Un oggetto ${\mathfrak {A}}=\langle D,{\mathcal {I}}\rangle$ contenente tali informazioni è detto struttura.^[3] Tale struttura è detta modello di una certa formula $\phi$ se ${\mathfrak {A}}\models \phi$ , ovvero se $\phi$ è vera in ${\mathfrak {A}}$ .

Esempio

Definiamo un possibile linguaggio L, avente come simboli costanti $a$ , $b$ e $c$ ; predicati $F$ , $G$ , $H$ , $I$ e $J$ ; e variabili $x$ , $y$ e $z$ .

Un esempio di interpretazione ${\mathcal {I}}$ del linguaggio L è la seguente:

Dominio: i pezzi degli scacchi
Costanti individuali: $a$ : il re bianco; $b$ : la regina nera; $c$ : un certo pedone bianco
$F(x)$ : $x$ è un pezzo
$G(x)$ : $x$ è un pedone
$H(x)$ : $x$ è nero
$I(x)$ : $x$ è bianco
$J(x,y)$ : $x$ può mangiare $y$

Nell'interpretazione di cui sopra:

le seguenti proposizioni sono vere: $F(a)$ , $G(c)$ , $H(b)$ , $I(a)$ , $J(b,c)$ ;
le seguenti proposizioni sono false: $J(a,c)$ , $G(a)$ , $I(b)$ .

La struttura ${\mathfrak {A}}=\langle D,{\mathcal {I}}\rangle$ è un modello di tutte le proposizioni vere di cui sopra. Per esempio, abbiamo che ${\mathfrak {A}}\models J(b,c)$ .

Note

^ ^a ^b ^c ^d Francesco Bottacin, Appunti di Logica Matematica (PDF), Università degli Studi di Padova. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 10 gennaio 2017).
^ Raffaella Bernardi, Logica & Linguaggio: Logica Proposizionale I (PDF), su disi.unitn.it, Università degli Studi di Trento, 23 febbraio 2012. URL consultato il 6 dicembre 2020.
^ ^a ^b Daniele Nardi, Rappresentazione della Conoscenza - Lezione 2 (PDF), su dis.uniroma1.it, Università degli Studi di Roma "La Sapienza", 2008. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 6 dicembre 2020).

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) interpretation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Interpretazione, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Informatica

Portale Matematica

[bottacin-1] Francesco Bottacin, Appunti di Logica Matematica (PDF), Università degli Studi di Padova. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 10 gennaio 2017).

[2] Raffaella Bernardi, Logica & Linguaggio: Logica Proposizionale I (PDF), su disi.unitn.it, Università degli Studi di Trento, 23 febbraio 2012. URL consultato il 6 dicembre 2020.

[nardi2008-3] Daniele Nardi, Rappresentazione della Conoscenza - Lezione 2 (PDF), su dis.uniroma1.it, Università degli Studi di Roma "La Sapienza", 2008. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 6 dicembre 2020).

[1]

[2]

[3]