Isometria dello spazio iperbolico

In geometria, una isometria dello spazio iperbolico è una isometria dello spazio iperbolico . Si tratta cioè di un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi.

Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per alcuni aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo, ma sono più ricche di queste in altri aspetti. Possono essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Le isometrie dello spazio iperbolico formano un gruppo.

Definizione

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Una isometria di   è un diffeomorfismo che preserva il tensore metrico. In particolare, preserva la distanza fra punti, le geodetiche, gli angoli fra curve e i volumi.

Lo spazio iperbolico è omogeneo e isotropo

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Nello spazio euclideo  , esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico.

Come lo spazio euclideo, anche lo spazio iperbolico   è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti   e  , e per ogni coppia di rette   e   passanti rispettivamente per   e  , esiste una isometria dello spazio che manda   in   e   in  . Questo fatto può essere mostrato agevolmente scegliendo il modello più appropriato.

Nel modello del semispazio, il punto   può essere spostato su un arbitrario   tramite la composizione delle isometrie

 

e

 

Quindi è possibile spostare   e   su un punto arbitrario. Nel modello del disco di Poincaré, si può supporre che   sia l'origine  . A questo punto,   e   sono due rette passanti per l'origine, e possono essere portate l'una nell'altra tramite una opportuna rotazione del disco (centrata nell'origine).

Sfera all'infinito

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Nel modello del disco di Poincaré  , la sfera all'infinito dello spazio iperbolico   è il bordo   del disco. Si tratta quindi della sfera   di dimensione  

 

La sfera all'infinito può essere definita in modo intrinseco a partire da  , a prescindere dal modello. Viene indicata con  . Aggiungendo allo spazio iperbolico la sfera all'infinito, si ottiene uno spazio che viene indicato con

 

Come spazio topologico,   è omeomorfo al disco chiuso

 

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Tipi di isometrie

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Una isometria dello spazio iperbolico

 

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

 

che coincide con   all'interno del disco, cioè su  . La funzione   non può essere globalmente un'isometria, per un motivo semplice: lo spazio   non è uno spazio metrico, poiché la distanza è definita solo al suo interno, su  , ma non sul bordo (i punti al bordo non sono veri e propri punti dello spazio iperbolico: sono all'infinito e quindi hanno informalmente distanza infinita rispetto a quelli interni).

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso   in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta  , garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa   (ma non per  ).

Una isometria   che preservare l'orientazione dello spazi iperbolico è detta:

  • ellittica se ha un punto fisso in  ,
  • parabolica se non ha punti fissi in   e ne ha uno al bordo  ,
  • iperbolica se non ha punti fissi in   e ne ha due al bordo  .

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Varietà iperboliche complete

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Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in  .

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in  ). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

Bibliografia

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  • (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.
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