Lemma di Yoneda

In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.

Definizioni

Sia ${\mathcal {C}}$ una categoria, e sia $\mathbf {Set}$ la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su ${\mathcal {C}}$ a valori in $\mathbf {Set}$ è la categoria $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ di funtori contravarianti da ${\mathcal {C}}$ agli insiemi. Dati due funtori $F,G\in \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ l'insieme di morfismi da $F$ a $G$ è l'insieme $\mathrm {Nat} (F,G)$ di trasformazioni naturali da $F$ a $G$.

Fissato un oggetto $A\in {\mathcal {C}}$, di particolare rilievo è il funtore

$h_{A}\colon {\mathcal {C}}^{op}\to \mathbf {Set}$

che mappa un oggetto $X\in {\mathcal {C}}$ all'insieme $\mathrm {Hom} (X,A)$. Per ogni morfismo $f\colon X\to Y\in {\mathcal {C}}$ il funtore $h_{A}$ associa un morfismo $h\colon X\to A$ al morfismo $g\colon Y\to A$ dato da $h=g\circ f$.

Enunciato

Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:

Vi è una corrispondenza biunivoca $\mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A)$.

Un caso particolare è quello dove $F=h_{Y}$; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria ${\mathcal {C}}$ è una sottocategoria di $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$ tramite il funtore $h:{\mathcal {C}}\to \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )$.

Dimostrazione

La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:

Proof of Yoneda's lemma