Dimostrazioni del limite di una funzione

Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione, perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.

Teorema di unicità

Sia:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}

e

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}

allora:

l_{1}=l_{2}

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema procede per assurdo. Presi:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}

e

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}

con $l_{1}\neq l_{2}$ , allora esistono due intorni $V_{1}$ di $l_{1}$ e $V_{2}$ di $l_{2}$ tali che siano disgiunti ( $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ ). Per definizione devono esistere due intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ per cui vale:

$f(x)\in V_{1}$ se $x\in U_{1}$
$f(x)\in V_{2}$ se $x\in U_{2}$

Dunque prendendo l'intorno di $x_{0}$ costruito come $U_{1}\cap U_{2}$ , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x)\in V_{1}$ e $f(x)\in V_{2}$ , il che è assurdo. Da tali procedimenti si è arrivati a dire che, nonostante siano stati presi due intorni disgiunti dei limiti, l'intersezione tra gli intorni non è vuota, cioè praticamente non esistono intorni disgiunti dei limiti. Questo però, per la proprietà di separazione (o di Hausdorff), deve sempre accadere se i limiti sono distinti, in conclusione allora i limiti devono per forza essere uguali.

Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia $f$ una funzione continua nel suo dominio, $f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ e $x_{0},l\in \mathbb {R} ^{*}$ con $x_{0}$ di accumulazione per $X$ , allora:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0\,(<0)\to f(x)>0\,(<0){\mbox{ per }}x\to x_{0}

Infatti, si ponga $l\in \mathbb {R} ,\,l>0$ . Preso l'intorno $V=(l-\varepsilon ;l+\varepsilon )$ con $0<\varepsilon <l$ . Allora, per definizione di limite, esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ , per il quale:

f(x)\in V\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}

cioè:

l+\varepsilon >f(x)>l-\varepsilon >0

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\infty$ e $-\infty$ .

Criterio di regolarità per confronto

Siano $f,g,h:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f,g,h\in C^{0}(X;\mathbb {R} )$ , e $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X$ . Se:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l

e se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che risulti:

f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}

allora:

\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l

Dimostrazione

Sia $l\in \mathbb {R}$ . Preso un intorno $V$ di $l$ , $(l-\varepsilon ,l+\varepsilon )$ esistono intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ .

Per definizione si ha:

x\neq x_{0}\in U_{1}\to f(x)\in V\qquad x\neq x_{0}\in U_{2}\to h(x)\in V

Allora, preso l'intorno $U=U_{1}\cap U_{2}$ di $x_{0}$ , succede, per ipotesi, che:

l-\varepsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\varepsilon

cioè:

x\in U\backslash \left\{x_{0}\right\}\to g(x)\in V

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l=\pm \infty$ , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che si sta studiando.

Operazioni con i limiti

Sia $f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing$ e $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X_{f},\,X_{g}$ .