Matrice a diagonale dominante

In algebra lineare una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole, o più comunemente matrice a diagonale dominante (o dominante diagonale), è una matrice quadrata $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ di ordine $n$ i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:

$|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia

$|a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|,$

la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe, o fortemente dominante diagonale.

Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia

$|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|\qquad {\text{e}}\qquad |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|,$

si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante per colonne in senso debole (o dominante diagonale per colonne) e una matrice a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per colonne (o fortemente dominante diagonale per colonne).

Matrici irriducibilmente dominanti diagonali

Una matrice quadrata $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ si dice irriducibilmente dominante diagonale (i.d.d.) per righe se:

• $A$ è una matrice irriducibile per permutazioni,
• $A$ è una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole,
• Vale la disuguaglianza stretta per almeno un indice $i$, ovverosia esiste un $i$ tale per cui $|a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|$.

Analogamente si definisce una matrice i.d.d. per colonne. Per il terzo teorema di Gershgorin, una matrice i.d.d. è sempre non singolare.

Proprietà

Valgono i seguenti teoremi:

• Una matrice $A$ è a diagonale dominante (in senso stretto) per righe se rispettivamente $A^{T}$ lo è per colonne.
• Analogamente una matrice $A$ è a diagonale dominante (in senso stretto) per colonne se rispettivamente $A^{T}$ lo è per righe.
• Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Questa è una conseguenza del primo teorema di Gershgorin. Non vale per forza lo stesso per una matrice a diagonale dominante in senso debole: per esempio, ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ non è invertibile.

• Se $A$ è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione $A=LU$ può essere ottenuta senza pivoting.
• Se $A$ è fortemente dominante diagonale o i.i.d., allora $a_{ii}\neq 0$ per ogni $i$.

• Se la matrice dei coefficienti $A$ di un sistema lineare $Ax=b$ è a diagonale dominante in senso stretto o è irriducibilmente dominante diagonale (per righe o per colonne), i metodi di risoluzione iterativa di Jacobi e Gauss-Seidel convergono alla soluzione del sistema (i raggi spettrali delle matrici di iterazione sono strettamente minori di $1$).

• Ogni sottomatrice principale di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.

• Se $A$ è una matrice simmetrica (o hermitiana nel caso complesso) a diagonale dominante in senso stretto con elementi sulla diagonale tutti positivi, allora $A$ è anche definita positiva.