Matrice normale

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi $A$ è una matrice normale se:

$A^{\dagger }A=AA^{\dagger }$

dove $A^{\dagger }$ è la matrice trasposta coniugata di $A$. Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se $A$ è una matrice reale, allora $A^{\dagger }$ è semplicemente uguale alla trasposta di $A$.

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di $\mathbb {C} ^{n}$ opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano $\mathbb {C} ^{n}$ e sono ortogonali a due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di $\mathbb {C} ^{n}$.

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se $A$ e $B$ sono normali con $AB=BA$, allora sia $AB$ che $A+B$ sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente $A$ e $B$ nel seguente senso: esiste una matrice unitaria $U$ tale che $UAU^{\dagger }$ e $UBU^{\dagger }$ sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di $U^{\dagger }$ sono autovettori sia di $A$ che di $B$ e formano una base ortonormale di $\mathbb {C} ^{n}$.

Se $A$ è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria $U$ e una matrice definita positiva $R$ tale che $A=RU=UR$. Le matrici $R$ e $U$ sono unicamente determinate da $A$. Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se $A$ è unitaria $A^{\dagger }A=AA^{\dagger }=I$. Se $A$ è hermitiana, allora $A^{\dagger }=A$ e quindi $A^{\dagger }A=AA=AA^{\dagger }$. Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di $A$, si ha che una matrice è normale se e solo se:

$\sigma _{i}(A)=|\lambda _{i}(A)|\qquad \forall i=1\dots n$

dove $\sigma _{1}(A)\geq \dots \geq \sigma _{n}(A)$ sono i valori singolari di $A$ e $|\lambda _{1}(A)|\geq \dots \geq |\lambda _{n}(A)|$ gli autovalori di $A$.

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di $A$ può essere calcolata con i suoi autovalori:

$\operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum _{j}^{n}|\lambda _{j}|^{2}$

La norma operatoriale di una matrice normale $N$, inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

$\sup _{\|x\|=1}\|Nx\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Nx,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (N)\}$

dove $\sigma (N)$ è lo spettro di $N$.

Esempio

La matrice:

${\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

è normale poiché:

${\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{\dagger }={\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i&0\\i&-i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i&0\\i&-i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{\dagger }{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia

• (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
• (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate

• Commutatore (matematica)
• Matrice trasposta
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Operatore normale
• Teorema spettrale
• Valore singolare

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Normal Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Normal matrix, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.