Misura deltiforme

In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia $X$ un insieme (con una sigma algebra di suoi sottoinsiemi), $E\in X$ un insieme misurabile e $x\in X$. La misura deltiforme è la misura $\delta _{x}$ su $X$ tale per cui la misura di $E$ è 1 se $x\in E$ e 0 altrimenti:

$\delta _{x}(E)=\left\{{\begin{matrix}0&x\not \in E\\1&x\in E\end{matrix}}\right.$

Fa la stessa cosa della funzione indicatrice.

La misura deltiforme di un insieme $E$ può anche essere scritta:

$\delta _{x}(E)=\int _{E}\,d\delta _{x}$

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac $\delta$ si può anche scrivere:

$\delta _{x}(E)=\int _{E}\delta (y-x)\,d\mu (y)$

In modo analogo l'integrale di una funzione $f$ rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

$\int _{X}f(y)\,d\delta _{x}=\int _{X}f(y)\delta (y-x)\,d\mu (y)=f(x)$

Il supporto della misura deltiforme $\mu _{\delta }$ è il singoletto $\{x_{0}\}$.

Bibliografia

• (EN) Jean Dieudonné, Examples of measures, in Treatise on analysis, Part 2, Academic Press, 1976, p. 100, ISBN 0-12-215502-5.
• (EN) John Benedetto, §2.1.3 Definition, δ, in Harmonic analysis and applications, CRC Press, 1997, p. 72, ISBN 0-8493-7879-6.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Funzione indicatrice
• Misura (matematica)
• Misura discreta

Collegamenti esterni

• (EN) Dirac measure, in PlanetMath.