Misura di Radon

In matematica, una misura di Radon è una misura definita sulla sigma-algebra di uno spazio topologico di Hausdorff che è localmente finita e internamente regolare.

Un problema comune nell'ambito della teoria della misura è quello di trovare una nozione di misura compatibile con la topologia dello spazio topologico in questione. Solitamente per ottenere ciò si definisce una misura sulla sigma-algebra dei boreliani dello spazio, ma questo implica spesso il manifestarsi di alcune difficoltà, come il fatto che la misura può non avere un supporto ben definito. Un approccio alternativo è quello di restringersi a spazi topologici di Hausdorff localmente compatti, e considerare soltanto le misure che corrispondono a funzionali lineari positivi definiti su uno spazio di funzioni continue a supporto compatto. Alcuni autori utilizzano questo caso per la definizione di misura di Radon. In generale, se non vi sono restrizioni a misure non negative e complesse, allora le misure di Radon possono essere definite come costituenti il duale continuo dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto.

Definizione

Sia $m$ una misura sulla σ-algebra formata dagli insiemi di Borel di uno spazio topologico di Hausdorff $X$. La misura $m$ è una misura di Radon se, per ogni insieme di Borel $B$, $m(B)$ è l'estremo superiore dei valori assunti da $m(K)$ rispetto a tutti i sottoinsiemi compatti $K$ di $B$ (cioè si tratta di una misura internamente regolare) e per ogni punto di $X$ esiste un intorno $U$ tale per cui $m(U)$ è una misura finita, ovvero è una misura localmente finita.

Si definisce spazio di Radon uno spazio metrico separabile $(M,d)$ tale per cui ogni misura di probabilità di Borel su $M$ è internamente regolare. Dal momento che una misura di probabilità è una misura localmente finita, ogni misura di probabilità su uno spazio di Radon è anche una misura di Radon.

Spazi localmente compatti

Quando lo spazio di misura è uno spazio topologico localmente compatto la definizione di misura di Radon può essere espressa per mezzo dei funzionali lineari continui sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto. Questo rende possibile sviluppare la teoria della misura e dell'integrazione anche nell'ambito dell'analisi funzionale, in cui si notano somiglianze con la definizione del concetto di distribuzione.

Sia $X$ uno spazio topologico localmente compatto. Le funzioni continue a valori reali che hanno supporto compatto definite su $X$ formano uno spazio vettoriale ${\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)$, in cui si può definire naturalmente una topologia localmente convessa. Infatti, lo spazio ${\mathcal {K}}(X)$ è l'unione degli spazi ${\mathcal {K}}(X,K)$ composti da funzioni continue il cui supporto è contenuto in compatti $K$. Ognuno degli spazi ${\mathcal {K}}(X,K)$ è uno spazio di Banach equipaggiato con la topologia della convergenza uniforme, ma in quanto unione di spazi topologici è un caso particolare di limite diretto di spazi topologici, e pertanto assume la topologia del limite diretto indotta dagli spazi ${\mathcal {K}}(X,K)$.

Se $m$ è una misura di Radon su $X$, la mappa:

$I:f\mapsto \int f\,dm$

è una trasformazione lineare continua e positiva dallo spazio ${\mathcal {K}}(X)$ in $\mathbb {R}$. Il fatto che sia positiva significa che l'integrale $I(f)\geq 0$ quando $f$ è non-negativa, mentre la continuità è intesa rispetto alla topologia del limite diretto, che è equivalente a dire che per ogni sottoinsieme compatto $K$ di $X$ esiste una costante $M_{K}$ tale che per ogni funzione continua a valori reali $f$ definita su $X$ con supporto contenuto in $K$ si verifica:

$|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|$

Viceversa, per il teorema di Riesz-Markov, ogni funzionale lineare positivo su ${\mathcal {K}}(X)$ può essere definito per mezzo di un'integrazione rispetto alla misura di Radon, ed è quindi un funzionale continuo.

Si definisce inoltre misura di Radon a valori reali un qualsiasi funzionale lineare continuo su ${\mathcal {K}}(X)$, cioè appartenente al duale di ${\mathcal {K}}(X)$. Una misura di Radon a valori reali non è necessariamente una misura con segno.

Per completare la caratterizzazione della teoria della misura per spazi localmente compatti da un punto di vista analitico si devono estendere la misura e l'integrazione per funzioni che non sono continue e aventi supporto compatto. Questo è possibile, in vari passaggi, per le funzioni a valori reali o complessi:

• inizialmente si definisce l'integrale superiore $\mu ^{*}(g)$ (ovvero il sup del valore dell'integrale $\mu$ con estremo di integrazione superiore variabile) per funzioni inferiormente semicontinue $g$ a partire dalle funzioni a supporto compatto $h\leq g$ come l'estremo superiore dei numeri positivi $\mu (h)$;
• quindi si definisce l'integrale superiore $\mu ^{*}(f)$ per funzioni positive reali $f\leq g$ come l'estremo inferiore degli integrali superiori $\mu ^{*}(g)$;
• si definiscono successivamente lo spazio vettoriale $F(X,\mu )$ delle funzioni $f$ su $X$ il cui valore assoluto ha integrale superiore $\mu ^{*}(|f|)$ finito, e tale integrale definisce una seminorma sullo spazio, che risulta completo rispetto alla topologia indotta dalla seminorma.
• Si procede poi con la definizione dello spazio vettoriale $L^{1}(X,\mu )$ delle funzioni integrabili come la chiusura in $F$ dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto, e dunque con l'introduzione (tramite estensione per continuità) dell'operatore integrale. La misura di un insieme è quindi definita attraverso l'integrale (se esiste) della funzione indicatrice dell'insieme stesso.

Tramite questa procedura si ottiene una teoria identica a quella che definisce le misure di Radon come funzioni che assegnano un numero agli insiemi di Borel dello spazio $X$.

Esempi

Sono misure di Radon:

• La misura di Lebesgue su uno spazio euclideo (ristretta ai sottoinsiemi di Borel).
• La misura di Haar su ogni gruppo topologico localmente compatto.
• La misura di Dirac su ogni spazio topologico.
• La misura gaussiana su uno spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con la sigma-algebra di Borel.

Bibliografia

• (EN) L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, "Functions of bounded variations and free discontinuity problems". Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. MR1857292Zbl 0957.49001
• (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration , Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
• (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Basel, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.

Voci correlate

• Funzionale lineare
• Funzione a supporto compatto
• Funzione continua
• Misura (matematica)
• Misura regolare
• Misura localmente finita
• Spazio di Hausdorff
• Spazio localmente compatto

Collegamenti esterni

• Radon, misura di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Misura di Radon, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) R.A. Minlos, Radon measure, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Radon measure, in PlanetMath.