Modello (logica matematica)

Un modello di una teoria formale, in logica matematica, è una struttura in cui vengono interpretati gli enunciati della teoria. Sebbene la seguente definizione faccia riferimento alla teoria dei modelli, gli esempi e le definizioni successive fanno riferimento a teoria e logica del primo ordine.

Definizione

Per una data teoria ${\mathcal {T}}$ in teoria dei modelli, una struttura ${\mathcal {M}}=(M,\sigma ,I)$ è definita come modello se

1. il linguaggio usato da ${\mathcal {M}}$ è lo stesso usato nella teoria ${\mathcal {T}}$,
2. ogni proposizione in ${\mathcal {T}}$ è soddisfatta da ${\mathcal {M}}$,

dove

1. ${\mathcal {M}}$ è un dominio (di discorso o di interpretazione),
2. $\sigma$ è una firma (signature),
3. $I$ è una funzione di interpretazione.

Dominio

Il dominio ${\mathcal {D}}$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è definito come un insieme arbitrario; è anche detto dominio di discorso in quanto contiene gli elementi dell'ambiente sul quale si vuole effettuare una descrizione o un ragionamento.

Si noti che, se il dominio è usato in una struttura per la logica del primo ordine, allora non può essere vuoto.

Signature

La signature $\sigma =(S,\mathrm {ar} )$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è un definita formalmente come una coppia i cui elementi sono

1. $S$, l'insieme di simboli di costanti, funzioni o relazioni, ciascuno con un'arietà;
2. una funzione $\mathrm {ar} \colon S\to \mathbb {N}$, detta di arietà, che associa ad ogni simbolo in $S$ il numero di argomenti che il simbolo accetta.

Per definizione simboli costanti $c$ sono tali che $\mathrm {ar} (c)=0$.

Funzione di interpretazione

Una funzione di interpretazione $I$ di una struttura ${\mathcal {F}}$ è una funzione che assegna funzioni e relazioni ai simboli definiti nella signature ed è tale che:

1. $I(c_{i})\in {\mathcal {D}}$, con $c_{i}$ simbolo costante nel dominio di interpretazione;
2. $I(f_{i})\colon S\rightarrow ({\mathcal {D}}^{n}\rightarrow {\mathcal {D}})$, con $f_{i}$ simbolo funzionale con arietà $n$ e nel dominio di interpretazione;
3. $I(R_{i})\subseteq {\mathcal {D}}^{n}$, con $R_{i}$ simbolo relazionale con arietà $n$ e nel dominio di interpretazione.

Esempio

Un esempio di dominio di discorso, può essere un insieme di persone che siamo interessati a descrivere, ad esempio ${\mathcal {D}}=\{\mathrm {Tom} ,\mathrm {Bill} ,\mathrm {John} ,\mathrm {Kate} ,\mathrm {Peter} ,\mathrm {Sue} ,\mathrm {Tim} \}$.

Un esempio di signature $\sigma$ può essere una coppia $(S,\mathrm {ar} )$, dove

• $S=\{\mathrm {PadreDi} ,\mathrm {Amici} ,a,b,c,d,f,g\}$, con
  • $\mathrm {PadreDi}$ simbolo funzionale,
  • $\mathrm {Amici}$ simbolo relazionale,
  • e $a,b,c,d,f,g$ simboli costanti;
• $\mathrm {ar}$ funzione di arietà tale che:
  • $\mathrm {ar} (\mathrm {PadreDi} )=1,$
  • $\mathrm {ar} (\mathrm {Amici} )=2,$
  • $\mathrm {ar} (x)=0,\forall x\in \{a,b,c,d,e,f,g\}.$

Facendo riferimento agli esempi di dominio e signature visti sopra, una possibile funzione di interpretazione può essere $I$ tale che:

• $I(a)=\mathrm {Tom} ,\quad I(b)=\mathrm {Bill} ,\quad I(c)=\mathrm {John} ,\quad I(d)=\mathrm {Kate} ,\quad I(e)=\mathrm {Peter} ,\quad I(f)=\mathrm {Sue} ,\quad I(g)=\mathrm {Tim} ;$
• $I(\mathrm {PadreDi} )=h\quad$ tale che $\quad h(b)=a,\quad h(d)=c,\quad h(f)=e;$
• $I(\mathrm {Amici} )=\{(f,b),(d,g)\}.$

Soddifacibilità per logiche del primo ordine

Un modello per una formula ben formata di un linguaggio del primo ordine è un modello per il linguaggio in cui l'interpretazione della formula risulti vera. Una formula è detta

• valida se è vera per tutti i modelli;
• soddisfacibile se esiste almeno un modello rispetto al quale è vera;
• insoddisfacibile se non esiste nessun modello in cui è vera.

Per esempio, una formula valida può essere $\forall x.(p(x)\rightarrow p(x))$, una soddisfacibile può essere $\exists x.(g(x)\rightarrow p(x))$, una insoddisfacibile può essere $\forall x.(p(x)\not \rightarrow p(x))$.

Modelli di teorie assiomatiche

Un modello per una teoria del primo ordine è un modello per il suo linguaggio per cui siano vere tutte le formule che sono assiomi della teoria, e di conseguenza saranno verificate nel modello tutte le formule corrispondenti ai teoremi della teoria.

Voci correlate

• Teoria dei modelli
• Linguaggio del primo ordine
• Teoria del primo ordine
• Correttezza (logica matematica)
• Completezza (logica matematica)
• Consistenza (logica matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Modello, su MathWorld, Wolfram Research.