Modello di Ehrenfest

Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Tatiana e Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov.

Il modello è costituito da $N$ particelle in due contenitori.

Ad ogni istante $t=1,2,...$ una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità $1/N$ di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore.

Sia $X(t)$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo $t$ .

Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione $p_{ij}=P(X(t)=i|X(t-1)=j)$ con

p_{ij}=\left\lbrace {\begin{array}{ll}1-{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j+1\\{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j-1\\0&{\text{ altrimenti}}\end{array}}\right.

La distribuzione di probabilità all'equilibrio è $\pi _{i}=2^{-N}{\binom {N}{i}}$ .

Corinna Ulcigrai e Krzysztof Frączek hanno dimostrato che il modello di Ehrenfest (windtree model) non è ergodico.^[1]^[2]

Note

^ (EN) Krzysztof Frączek e Corinna Ulcigrai, Non-ergodic $\mathbb{Z}$-periodic billiards and infinite translation surfaces, in Inventiones mathematicae, vol. 197, n. 2, 1º agosto 2014, pp. 241–298, DOI:10.1007/s00222-013-0482-z.
^ Krzysztof Frączek, Uniwersytetu Mikołaja Kopernika

Collegamenti esterni

(EN) Ehrenfest model of diffusion, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] (EN) Krzysztof Frączek e Corinna Ulcigrai, Non-ergodic $\mathbb{Z}$-periodic billiards and infinite translation surfaces, in Inventiones mathematicae, vol. 197, n. 2, 1º agosto 2014, pp. 241–298, DOI:10.1007/s00222-013-0482-z.

[2] Krzysztof Frączek, Uniwersytetu Mikołaja Kopernika

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