Numero ciclico

Si definisce numero ciclico quel numero di n cifre che ha le seguenti caratteristiche:

• moltiplicato per un numero da 1 a n, dà come risultato un numero che contiene le stesse cifre del numero di partenza, in ordine traslato
• moltiplicato per n+1, dà come risultato una sequenza di n cifre 9 (ovvero 10ⁿ-1).

La ciclicità è una proprietà dipendente dal sistema di numerazione utilizzato.

Esempio

Il numero ciclico più piccolo è 142857, di n=6 cifre. È il periodo dell'espressione decimale di 1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 ...

Le proprietà sono rispettate:

1 x 142857 = 142857

2 x 142857 = 285714

3 x 142857 = 428571

4 x 142857 = 571428

5 x 142857 = 714285

6 x 142857 = 857142

7 x 142857 = 999999

Moltiplicando per i numeri da 1 a n=6, si ottiene lo stesso numero, con le cifre traslate; moltiplicando invece per n+1=7, si ottengono n=6 cifre 9.

Proprietà generalizzate

• Moltiplicando un numero ciclico di n cifre per un numero qualsiasi e sommando i gruppi di n cifre si ottiene nuovamente la stessa sequenza di numeri.
• Moltiplicando per un multiplo di n + 1 il risultato della somma è sempre una sequenza di n cifre 9.

Applicando tali proprietà all'esempio:

142857 * 633 = 90428481 -> 90 + 428481 = 428571

142857 * 540 = 77142780 -> 77 + 142780 = 142857

142857 * (7*55) = 54999945 -> 54 + 999945 = 999999

Altre caratteristiche

• Un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di m cifre (dove m è un fattore di n) che sommati danno una serie di m 9.

Nell'esempio, il numero è di n=6 cifre, quindi si potrà applicare questa proprietà scomponendo in gruppi di 1,2 e 3 cifre (fattori di 6)

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 -> 2 + 7 = 9

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

• Considerando le prime due cifre di un numero ciclico, raddoppiando e sommando consecutivamente, spostando di due posti verso destra, si ottiene in successione sempre il numero ciclico:

14 +
  28 +
    56 + 
     112 +
       224 +
         448 +
           856 +
=
1428571428...

• Considerando la cifra n+1, moltiplicando per cinque e sommando consecutivamente, spostando di una cifra verso sinistra, si ottiene di nuovo il numero ciclico:

            7+
          35 +
        175  +
       875   +
     4375    +
   21875     +
  ..... 
 =
 ......142857

• I numeri ciclici sono legati ai reciproci di alcuni numeri primi: se il reciproco di un numero primo p (1/p) ha un periodo di lunghezza p-1, allora il periodo è un numero ciclico. Alcuni esempi:

numero primo p	lunghezza periodo	1/p	numero ciclico
7	6	0,14285714285714285714285714285	142857
17	16	0,05882352941176470588235294117	0588235294117647

Numeri ciclici

Se non si ammettono numeri che inizino con zero, allora 142857 è l'unico numero ciclico in base decimale. Se si ammettono zero iniziali, i più piccoli numeri ciclici sono:

• 142857 (6 cifre)
• 0588235294117647 (16 cifre)
• 052631578947368421 (18 cifre)
• 0434782608695652173913 (22 cifre)
• 0344827586206896551724137931 (28 cifre)
• 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 cifre)
• 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 cifre)
• 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 cifre)

Bibliografia

• (EN) Martin Gardner, Cyclic Numbers, in Mathematical Circus, 1992, pp. 111-122.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero ciclico, su MathWorld, Wolfram Research.
• Sequenza A180340 della OEIS