Numero di Love

I numeri di Love (h, k e l) sono parametri adimensionali che misurano la rigidità di un corpo planetario o di un altro oggetto gravitazionale e la suscettibilità della sua forma a cambiare in risposta a un potenziale di marea esterno.

Nel 1909, Augustus Edward Hough Love introdusse i valori $h$ e $k$ che caratterizzano la risposta elastica complessiva della Terra alle maree: maree terrestri o maree corporee. Successivamente, nel 1912, Toshi Shida aggiunse un terzo numero di Love, $l$, che era necessario per ottenere una descrizione complessiva completa della risposta della Terra solida alle maree.

Definizioni

Il numero di Love $h$ rappresenta il rapporto tra la marea indotta su un corpo e l'altezza della marea in equilibrio statico; esso descrive anche lo spostamento (radiale) o il cambiamento nelle caratteristiche elastiche del pianeta. In termini di potenziale mareale, lo spostamento è $V(\theta ,\phi )/g$. Dove theta è la latitudine, $\phi$ è la longitudine est e $g$ corrisponde all'accelerazione di gravità. Per un ipotetico pianeta completamente solido $h=0$. Per un pianeta liquido, è previsto un valore di $h=1$. Tuttavia, la deformazione della sfera altera il campo di potenziale, causando un'ulteriore deformazione. Il limite teorico massimo è $h=2.5$. Nella realtà il valore, $h$ è compreso tra 0 e 1.

Il numero di Love $k$ è definito come la dilatazione cubica o il rapporto del potenziale aggiuntivo (forza autoreattiva) prodotto dalla deformazione del potenziale deformante. Può essere rappresentato come $kV(\theta ,\phi )/g$, dove $k=0$ per un corpo rigido.

Il numero di Love $l$ rappresenta il rapporto tra lo spostamento orizzontale (trasversale) di un elemento di massa della crosta terrestre e quello della corrispondente marea oceanica statica. Nella notazione potenziale lo spostamento trasversale è $l\nabla (V(\theta ,\phi ))/g$, dove $\nabla$ è l'operatore del gradiente orizzontale. Come per $h$ e $k$, anche $l=0$ per un corpo rigido.

Valori

Secondo David E. Cartwright, "uno sferoide solido elastico cederà a un potenziale di marea esterno $U_{2}$ di grado armonico sferico 2 da una marea di superficie $h_{2}U_{2}/g$ e l'autoattrazione di questa marea aumenterà il potenziale esterno di $k_{2}U_{2}$." Le grandezze dei numeri di Love dipendono dalla rigidità e dalla distribuzione della massa dello sferoide. I numeri di Love $h_{n}$, $k_{n}$, e $l_{n}$ possono essere calcolati anche per ordini superiori di armoniche sferiche.

Per la Terra elastica i numeri di Love rientrano nell'intervallo: $0.616\leq h_{2}\leq 0.624$, $0.304\leq k_{2}\leq 0.312$ E $0.084\leq l_{2}\leq 0.088$

Illustrazione di una stella di neutroni, oggetto di studio dell’astronomia multimessaggera

Per le maree terrestri si può calcolare il fattore di inclinazione come $1+k-h$ e il fattore gravimetrico come $1+h-(3/2)k$, dove si assume il pedice due.

Si pensa che le stelle di neutroni abbiano numeri di Love molto bassi, per via della loro crosta molto rigida, con valori dell’ordine di $0.05\leq k_{2}\leq 0.17$ ; i buchi neri isolati e non rotanti (nel vuoto) invece hanno numeri di Love nulli per tutti i multipoli $k_{\ell }=0$ Misurare i numeri di Love di oggetti compatti in fusioni di sistemi binari (come ad esempio fusioni di stelle di neutroni) è uno degli obiettivi principali dell'astronomia delle onde gravitazionali.