Numero primo di Wolstenholme

In matematica un numero primo $p$ è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se

${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}$

Ovvero

${\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}$

Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di $10^{9}$

Dimostrazione

Il Coefficiente binomiale è definito come:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}$

Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:

${\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1$

Semplificando si ottiene:

${\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1$

Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:

${\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wolstenholme, su MathWorld, Wolfram Research.